Calcular y^prime :
y=x tg^-1(4 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
y = x ,tg^-1(4x),
ou seja, precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para funções elementares.

Passo 2

Aplicando a regra do produto em ;y = u(x),v(x) com u(x)=x e v(x)=tg^-1(4x), temos
y' = u'(x),v(x) + u(x),v'(x) = 1cdot tg^-1(4x) + xcdot l(tg^-1(4x)r)'

Passo 3

Para calcular l(tg^-1(4x)r)', usamos a regra da cadeia: se w(x)=tg^-1(u(x)), então
w'(x) = u'(x)1+[u(x)]^2
Aqui u(x)=4x, logo u'(x)=4 e
l(tg^-1(4x)r)' = 41+(4x)^2 = 41+16x^2

Passo 4

Substituindo em y' do Passo 2, obtemos
y' = tg^-1(4x) + xcdot 41+16x^2 = tg^-1(4x) + 4x1+16x^2

Resposta

y' = tg^-1(4x) + 4x1+16x^2

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