Para calcularmos a densidade média de uma placa basta dividir sua massa por sua área, para isso usamos a relação \delta_{0}=\frac{M}{A}, Sabendo disso, calcule a densidade média da placa D limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=4 y com densidade \delta(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
(a) \frac{32}{9 \pi}
(b) \frac{48}{9 \pi}
(c) \frac{58}{3 \pi}
(d) \frac{64}{9 \pi}
(e) \frac{128}{6 \pi}
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um valor:
A densidade média de uma placa é dada por \delta_{0}=\dfrac{M}{A}, onde M é a massa total da placa e A é a área da região.
A região D é a parte do plano limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=4y.
A densidade superficial em cada ponto é \delta(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O que se pede: calcular a densidade média \delta_{0} da placa D (ou seja, determinar \dfrac{M}{A}).
Passo 2
Entender a região D. Primeiro escrevo a equação do círculo de forma mais clara:
Isto mostra que D é o disco de centro (0,2) e raio 2. Portanto a área A é simplesmente a área de um círculo de raio 2:
A=\pi\cdot 2^{2}=4\pi.
(Guarde este valor para usar na fórmula \delta_{0}=\dfrac{M}{A}.)
Passo 3
Escolher coordenadas convenientes e escrever a massa M como integral dupla. Como a densidade e a região têm forma radial conveniente em torno da origem, uso coordenadas polares padrão:
Em coordenadas polares tomo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.
A função densidade \delta(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r em polares.
O elemento de área em polares é dA=r\,dr\,d\theta (isso vem do jacobiano da transformação; aqui r é a variável radial e \theta o ângulo).
Logo o integrando para a massa será \delta(x,y)\,dA = r \cdot (r\,dr\,d\theta)=r^{2}\,dr\,d\theta.
Passo 4
Descrever a região D em polares. A equação do círculo em polares:
x^{2}+y^{2}=4y \quad\Longrightarrow\quad r^{2}=4r\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad r=0 \text{ ou } r=4\sin\theta.
O disco interior corresponde a 0\le r\le 4\sin\theta. Como queremos \sin\theta\ge0 para que o limite superior seja não negativo, temos \theta variando de 0 a \pi. Portanto a região D em polares é
0\le \theta\le \pi,\qquad 0\le r\le 4\sin\theta.
Passo 5
Calcular a massa M como integral dupla em polares. Usando o que foi dito:
Agora calculo \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta. Uso a identidade \sin^{3}\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta) e a substituição u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta: