Para calcularmos a densidade média de uma placa basta dividir sua massa por sua área, para isso usamos a relação \delta_{0}=\frac{M}{A}, Sabendo disso, calcule a densidade média da placa D limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=4 y com densidade \delta(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
(a) \frac{32}{9 \pi}
(b) \frac{48}{9 \pi}
(c) \frac{58}{3 \pi}
(d) \frac{64}{9 \pi}
(e) \frac{128}{6 \pi}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um valor:
  • A densidade média de uma placa é dada por \delta_{0}=\dfrac{M}{A}, onde M é a massa total da placa e A é a área da região.
  • A região D é a parte do plano limitada pelo círculo x^{2}+y^{2}=4y.
  • A densidade superficial em cada ponto é \delta(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
    O que se pede: calcular a densidade média \delta_{0} da placa D (ou seja, determinar \dfrac{M}{A}).

Passo 2

Entender a região D. Primeiro escrevo a equação do círculo de forma mais clara:
x^{2}+y^{2}=4y \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+(y-2)^{2}=4.
Isto mostra que D é o disco de centro (0,2) e raio 2. Portanto a área A é simplesmente a área de um círculo de raio 2:
A=\pi\cdot 2^{2}=4\pi.
(Guarde este valor para usar na fórmula \delta_{0}=\dfrac{M}{A}.)

Passo 3

Escolher coordenadas convenientes e escrever a massa M como integral dupla. Como a densidade e a região têm forma radial conveniente em torno da origem, uso coordenadas polares padrão:
  • Em coordenadas polares tomo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.
  • A função densidade \delta(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r em polares.
  • O elemento de área em polares é dA=r\,dr\,d\theta (isso vem do jacobiano da transformação; aqui r é a variável radial e \theta o ângulo).
    Logo o integrando para a massa será \delta(x,y)\,dA = r \cdot (r\,dr\,d\theta)=r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Descrever a região D em polares. A equação do círculo em polares:
x^{2}+y^{2}=4y \quad\Longrightarrow\quad r^{2}=4r\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad r=0 \text{ ou } r=4\sin\theta.
O disco interior corresponde a 0\le r\le 4\sin\theta. Como queremos \sin\theta\ge0 para que o limite superior seja não negativo, temos \theta variando de 0 a \pi. Portanto a região D em polares é
0\le \theta\le \pi,\qquad 0\le r\le 4\sin\theta.

Passo 5

Calcular a massa M como integral dupla em polares. Usando o que foi dito:
M=\iint_{D}\delta(x,y)\,dA=\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{4\sin\theta} r^{2}\,dr\,d\theta.
Faço a integral interna em r:
\int_{0}^{4\sin\theta} r^{2}\,dr=\left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{4\sin\theta}=\frac{(4\sin\theta)^{3}}{3}=\frac{64}{3}\sin^{3}\theta.
Portanto
M=\frac{64}{3}\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta.
Agora calculo \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta. Uso a identidade \sin^{3}\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta) e a substituição u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta:
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta=-\int_{\cos 0}^{\cos\pi}(1-u^{2})\,du=-\int_{1}^{-1}(1-u^{2})\,du=\int_{-1}^{1}(1-u^{2})\,du.
Calculo a integral:
\int_{-1}^{1}(1-u^{2})\,du=\left[u-\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.
Assim
M=\frac{64}{3}\cdot\frac{4}{3}=\frac{256}{9}.

Passo 6

Calcular a densidade média \delta_{0}=\dfrac{M}{A}. Já temos M=\dfrac{256}{9} e A=4\pi. Então
\delta_{0}=\frac{M}{A}=\frac{\tfrac{256}{9}}{4\pi}=\frac{256}{9}\cdot\frac{1}{4\pi}=\frac{64}{9\pi}.

Resposta

(d) \displaystyle \frac{64}{9\pi}

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