5- (1,5 pontos) (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) proposiçāo (es) correta (s):
- A expressão
é um polinômio.
02 . Se
e
são raízes da equação
, então
04 . O resto da divisão de
por
é 5
08. Se os polinômios
e
têm graus 3,4 e 7 , respectivamente, então
é um polinômio de grau 7 .
16. O número 2 é uma raiz de multiplicidade 2 da equaçāo
04 . O resto da divisão de
08. Se os polinômios
16. O número 2 é uma raiz de multiplicidade 2 da equaçāo
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado pede. Ele apresenta cinco afirmações numeradas por 01, 02, 04, 08 e 16. A tarefa é: identificar quais dessas afirmações são verdadeiras e, em seguida, somar os números associados às afirmações verdadeiras.
Informações dadas (cada linha é uma afirmação a ser verificada):
-
- A expressão
é um polinômio.
- A expressão
-
- Se
são raízes da equação , então .
- Se
-
- O resto da divisão de
por é .
- O resto da divisão de
-
- Se os polinômios
e têm graus e , respectivamente, então é um polinômio de grau .
- Se os polinômios
-
- O número
é uma raiz de multiplicidade da equação .
- O número
Objetivo final: dizer quais afirmações são verdadeiras e somar os números (etiquetas) correspondentes.
Passo 2
Avaliação da afirmação 01: definição e verificação.
Definição útil: um polinômio em
é uma soma finita de termos do tipo
com coeficientes
reais (ou complexos) e expoentes
que são inteiros não negativos (isto é,
). Em particular, expoentes negativos (como
) ou expoentes fracionários não são permitidos em um polinômio.
Aplicando isso à expressão dada:
. Aqui há um termo
, que tem expoente negativo. Portanto essa expressão não satisfaz a definição de polinômio.
Conclusão: a afirmação 01 é falsa.
Passo 3
Avaliação da afirmação 02: produto das raízes de um polinômio cúbico monico (uso da fórmula de Viète).
Teorema (fácil de lembrar): para um polinômio monico de grau
,
se as raízes são
, então o produto das raízes é
(Explicação rápida: expandindo
e comparando coeficientes.)
No nosso caso o polinômio é
. Aqui
. Então
Portanto a afirmação 02 é verdadeira.
Passo 4
Avaliação da afirmação 04: resto da divisão por
(Teorema do resto).
Teorema do resto: o resto da divisão de um polinômio
por
é
. No caso de divisão por
, temos
; o resto é
.
Vamos calcular
para
:
Calcule termo a termo:
-
(exponente ímpar), -
então , -
, - o último termo é
.
Somando:
Logo o resto da divisão por
é
, não
. Portanto a afirmação 04 é falsa.
Passo 5
Avaliação da afirmação 08: grau de
quando
.
Fatos sobre graus:
-
, desde que e não sejam o polinômio nulo. Então . - Ao somar dois polinômios, o grau do resultado é, em geral, o maior entre os graus dos somandos, salvo se houver cancelamento do termo de maior grau (isto é, se os coeficientes líderes somarem zero), caso em que o grau do somatório é menor.
No problema temos
e
. Então
pode ser
se os coeficientes líderes não cancelarem, mas pode ser menor que
se os coeficientes líderes se anularem. Portanto não é garantido que o grau seja sempre
.
Para ficar bem concreto, um contraexemplo simples:
- Tome
e . Então . - Tome
. Aqui (coeficiente líder ). - Então
, que tem grau , certamente não .
Concluímos: a afirmação 08 é falsa (não vale para todos os polinômios dados).
Passo 6
Avaliação da afirmação 16: verificar se
é raiz de multiplicidade
de
.
Definição prática de multiplicidade: se
é raiz de multiplicidade
, então
e
. Em particular, para multiplicidade pelo menos
precisamos que
e
. Para multiplicidade exatamente
também precisamos que
.
Calcule
:
Calcule passo a passo:
-
, -
, -
, -
, -
permanece.
Somando:
.
.
.
.
.
Logo : 2 é raiz (pelo menos simples).
Logo
Agora a derivada primeira:
Calcule
:
Passo a passo:
-
, -
, -
, -
.
Somando:
.
.
.
.
Portanto : confirma multiplicidade
.
Portanto
Para garantir multiplicidade exatamente
, calcule a segunda derivada:
Avalie em
:
Como a segunda derivada em
é nonzero, a multiplicidade é exatamente
.
Conclusão: a afirmação 16 é verdadeira.
Passo 7
Resumo das verificações:
- 01: falsa.
- 02: verdadeira.
- 04: falsa.
- 08: falsa.
- 16: verdadeira.
As afirmações verdadeiras são as etiquetadas por
e
. Agora somamos os números associados:
.
Resposta
18