5- (1,5 pontos) (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) proposiçāo (es) correta (s):
  1. A expressão 3 x^{5}-2 x^{4}+7 x^{3}+4 x^{2}+x^{-1}+3 é um polinômio.
02 . Se \alpha, \beta e \gamma são raízes da equação x^{3}+5 x^{2}+x+5=0, então \alpha \cdot \beta \cdot \gamma=-5
04 . O resto da divisão de x^{101}+3 x^{4}-2 x+3 por x+1 é 5
08. Se os polinômios p(x), q(x) e r(x) têm graus 3,4 e 7 , respectivamente, então p(x), q(x)+ r(x) é um polinômio de grau 7 .
16. O número 2 é uma raiz de multiplicidade 2 da equaçāo x^{4}-4 x^{3}+7 x^{2}-12 x+12=0

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado pede. Ele apresenta cinco afirmações numeradas por 01, 02, 04, 08 e 16. A tarefa é: identificar quais dessas afirmações são verdadeiras e, em seguida, somar os números associados às afirmações verdadeiras.
Informações dadas (cada linha é uma afirmação a ser verificada):
    1. A expressão 3 x^{5}-2 x^{4}+7 x^{3}+4 x^{2}+x^{-1}+3 é um polinômio.
    1. Se \alpha,\beta,\gamma são raízes da equação x^{3}+5 x^{2}+x+5=0, então \alpha\cdot\beta\cdot\gamma=-5.
    1. O resto da divisão de x^{101}+3 x^{4}-2 x+3 por x+1 é 5.
    1. Se os polinômios p(x), q(x) e r(x) têm graus 3,4 e 7, respectivamente, então p(x)\,q(x)+r(x) é um polinômio de grau 7.
    1. O número 2 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação x^{4}-4 x^{3}+7 x^{2}-12 x+12=0.
Objetivo final: dizer quais afirmações são verdadeiras e somar os números (etiquetas) correspondentes.

Passo 2

Avaliação da afirmação 01: definição e verificação.
Definição útil: um polinômio em x é uma soma finita de termos do tipo a_n x^{n} com coeficientes a_n reais (ou complexos) e expoentes n que são inteiros não negativos (isto é, n\in\{0,1,2,\dots\}). Em particular, expoentes negativos (como x^{-1}) ou expoentes fracionários não são permitidos em um polinômio.
Aplicando isso à expressão dada: 3 x^{5}-2 x^{4}+7 x^{3}+4 x^{2}+x^{-1}+3. Aqui há um termo x^{-1}, que tem expoente negativo. Portanto essa expressão não satisfaz a definição de polinômio.
Conclusão: a afirmação 01 é falsa.

Passo 3

Avaliação da afirmação 02: produto das raízes de um polinômio cúbico monico (uso da fórmula de Viète).
Teorema (fácil de lembrar): para um polinômio monico de grau 3,
x^{3}+a x^{2}+b x+c=0,
se as raízes são \alpha,\beta,\gamma, então o produto das raízes é
\alpha\beta\gamma = -c.
(Explicação rápida: expandindo (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+\cdots+(-1)^3\alpha\beta\gamma e comparando coeficientes.)
No nosso caso o polinômio é x^{3}+5 x^{2}+x+5. Aqui c=5. Então
\alpha\beta\gamma = -5.
Portanto a afirmação 02 é verdadeira.

Passo 4

Avaliação da afirmação 04: resto da divisão por x+1 (Teorema do resto).
Teorema do resto: o resto da divisão de um polinômio f(x) por x-a é f(a). No caso de divisão por x+1, temos a=-1; o resto é f(-1).
Vamos calcular f(-1) para f(x)=x^{101}+3 x^{4}-2 x+3:
f(-1)=(-1)^{101}+3(-1)^{4}-2(-1)+3.
Calcule termo a termo:
  • (-1)^{101}=-1 (exponente ímpar),
  • (-1)^{4}=1 então 3(-1)^4=3,
  • -2(-1)=+2,
  • o último termo é +3.
Somando:
f(-1) = -1 + 3 + 2 + 3 = 7.
Logo o resto da divisão por x+1 é 7, não 5. Portanto a afirmação 04 é falsa.

Passo 5

Avaliação da afirmação 08: grau de p(x)q(x)+r(x) quando \deg p=3,\\ \deg q=4,\\ \deg r=7.
Fatos sobre graus:
  • \deg(p(x)q(x)) = \deg p + \deg q, desde que p e q não sejam o polinômio nulo. Então \deg(pq)=3+4=7.
  • Ao somar dois polinômios, o grau do resultado é, em geral, o maior entre os graus dos somandos, salvo se houver cancelamento do termo de maior grau (isto é, se os coeficientes líderes somarem zero), caso em que o grau do somatório é menor.
No problema temos \deg(pq)=7 e \deg r=7. Então \deg(pq+r) pode ser 7 se os coeficientes líderes não cancelarem, mas pode ser menor que 7 se os coeficientes líderes se anularem. Portanto não é garantido que o grau seja sempre 7.
Para ficar bem concreto, um contraexemplo simples:
  • Tome p(x)=x^{3} e q(x)=x^{4}. Então p(x)q(x)=x^{7}.
  • Tome r(x)=-x^{7}+x. Aqui \deg r=7 (coeficiente líder -1).
  • Então p(x)q(x)+r(x)=x^{7}+(-x^{7}+x)=x, que tem grau 1, certamente não 7.
Concluímos: a afirmação 08 é falsa (não vale para todos os polinômios dados).

Passo 6

Avaliação da afirmação 16: verificar se 2 é raiz de multiplicidade 2 de f(x)=x^{4}-4 x^{3}+7 x^{2}-12 x+12.
Definição prática de multiplicidade: se x=a é raiz de multiplicidade m, então f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(m-1)}(a)=0 e f^{(m)}(a)\neq 0. Em particular, para multiplicidade pelo menos 2 precisamos que f(2)=0 e f'(2)=0. Para multiplicidade exatamente 2 também precisamos que f''(2)\neq 0.
Calcule f(2):
f(2)=2^{4}-4\cdot2^{3}+7\cdot2^{2}-12\cdot2+12.
Calcule passo a passo:
  • 2^{4}=16,
  • -4\cdot2^{3}=-4\cdot8=-32,
  • 7\cdot2^{2}=7\cdot4=28,
  • -12\cdot2=-24,
  • +12 permanece.
Somando: 16-32+28-24+12.
16-32=-16. -16+28=12. 12-24=-12. -12+12=0.
Logo f(2)=0: 2 é raiz (pelo menos simples).
Agora a derivada primeira:
f'(x)=4x^{3}-12x^{2}+14x-12.
Calcule f'(2):
f'(2)=4\cdot2^{3}-12\cdot2^{2}+14\cdot2-12.
Passo a passo:
  • 4\cdot8=32,
  • -12\cdot4=-48,
  • 14\cdot2=28,
  • -12.
Somando: 32-48+28-12.
32-48=-16. -16+28=12. 12-12=0.
Portanto f'(2)=0: confirma multiplicidade \ge 2.
Para garantir multiplicidade exatamente 2, calcule a segunda derivada:
f''(x)=12x^{2}-24x+14.
Avalie em x=2:
f''(2)=12\cdot4-24\cdot2+14 =48-48+14=14\neq 0.
Como a segunda derivada em 2 é nonzero, a multiplicidade é exatamente 2.
Conclusão: a afirmação 16 é verdadeira.

Passo 7

Resumo das verificações:
  • 01: falsa.
  • 02: verdadeira.
  • 04: falsa.
  • 08: falsa.
  • 16: verdadeira.
As afirmações verdadeiras são as etiquetadas por 02 e 16. Agora somamos os números associados: 2+16.

Resposta

18

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