Calcule a integral definida.
b)
\int_{1}^{2} \frac{3}{t^{4}} d t

Passo 1

O enunciado pede claramente o cálculo da integral definida
\int_{1}^{2} \frac{3}{t^{4}}\,dt.
Informações fornecidas:
  • A integral é no intervalo de limite inferior 1 até limite superior 2.
  • O integrando é a função t\mapsto \dfrac{3}{t^{4}}.
  • Não há outras condições ou imagens. A função é bem definida e contínua em [1,2], portanto a integral existe.

Passo 2

Regra que vou usar primeiro: fator constante fora da integral. Essa regra diz que, para todo número constante a e função integrável f(t),
\int a\cdot f(t)\,dt = a\int f(t)\,dt.
Aqui a é uma constante real e f(t) é a função dependente de t. Exemplo curto para fixar: \int 5t^2\,dt = 5\int t^2\,dt.

Passo 3

Outra regra fundamental: a regra da potência para primitiva (antiderivada). Para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Nesta fórmula, t é a variável de integração e n é um número real; o denominador n+1 não pode ser zero. Exemplo: \int t^{2}\,dt = \dfrac{t^{3}}{3}+C.

Passo 4

Reescrevo o integrando usando potência:
\frac{3}{t^{4}} = 3\,t^{-4}.
Aplicando a regra do passo 2, a integral indefinida correspondente é
\int 3\,t^{-4}\,dt = 3\int t^{-4}\,dt.
Agora uso a regra da potência com n=-4. Como n+1=-3\neq 0,
\int t^{-4}\,dt = \frac{t^{-3}}{-3}+C.
Multiplicando por 3 obtemos a primitiva:
3\cdot\frac{t^{-3}}{-3}+C = -t^{-3}+C = -\frac{1}{t^{3}}+C.
Logo uma antiderivada (primitiva) da função é
F(t) = -\frac{1}{t^{3}}.

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral definida: se F é antiderivada de f, então
\int_{1}^{2} f(t)\,dt = F(2)-F(1).
Aqui F(t)=-\dfrac{1}{t^{3}}. Calculo os valores:
F(2) = -\frac{1}{2^{3}} = -\frac{1}{8}, \qquad F(1) = -\frac{1}{1^{3}} = -1.
Subtraindo,
\int_{1}^{2} \frac{3}{t^{4}}\,dt = F(2)-F(1) = -\frac{1}{8} - (-1) = -\frac{1}{8} + 1 = \frac{7}{8}.

Passo 6

Resumo prático que você pode usar na prova: transforme \dfrac{3}{t^{4}} em 3t^{-4}, use a regra da potência para obter a primitiva -t^{-3}, e avalie entre os limites. Pequeno incentivo: você já fez a parte mais chata — aplicar as regras — agora é só treinar mais umas poucas integrais parecidas que fica fácil. Vamos que dá!

Resposta

\dfrac{7}{8}

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