Calcule a integral definida.
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - O integrando é
, ou seja, a raiz cúbica de .
O que se pede:
- Calcular numericamente o valor da integral definida acima.
Passo 2
Primeiro passo técnico: reescrever o integrando usando potência com expoente fracionário. Lembrar que a raiz
-ésima de
pode ser escrita como potência
. Portanto
Assim a integral fica
Passo 3
Vamos usar a regra básica de integração (regra da potência). A regra diz:
Explicando cada parte:
-
é a variável de integração. -
é o expoente (aqui ), um número fixo. -
é a constante de integração para primitivas indefinidas.
Motivação curta (por que funciona): derivandoobtemos , então essa função é uma primitiva de .
Passo 4
Aplicando a regra da potência com
. A primitiva
de
é
Para simplificar o denominador, dividir por
é multiplicar por
. Logo
Passo 5
Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para integrar de
a
: a integral definida é
, isto é,
Passo 6
Calcular os termos numéricos passo a passo.
Primeiro, entender
. Com expoentes fracionários:
Então
Como
, temos
Também
.
Agora substituir em
:
Calcule cada produto:
Portanto a diferença é
Passo 7
Resumo rápido do raciocínio (sem repetir a resposta final): reescreveu-se
como
, obteve-se a primitiva
pela regra da potência e avaliou-se entre
e
, usando que
.