Calcule a integral definida.
c)
\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x}\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são 1 (inferior) e 8 (superior).
  • O integrando é \sqrt[3]{x}, ou seja, a raiz cúbica de x.
O que se pede:
  • Calcular numericamente o valor da integral definida acima.

Passo 2

Primeiro passo técnico: reescrever o integrando usando potência com expoente fracionário. Lembrar que a raiz b-ésima de x pode ser escrita como potência x^{1/b}. Portanto
\sqrt[3]{x} = x^{1/3}.
Assim a integral fica
\int_{1}^{8} x^{1/3}\,dx.

Passo 3

Vamos usar a regra básica de integração (regra da potência). A regra diz:
\text{Se } n \neq -1,\quad \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Explicando cada parte:
  • x é a variável de integração.
  • n é o expoente (aqui n=\tfrac{1}{3}), um número fixo.
  • C é a constante de integração para primitivas indefinidas.
    Motivação curta (por que funciona): derivando \dfrac{x^{n+1}}{n+1} obtemos (n+1)\dfrac{x^{n}}{n+1}=x^{n}, então essa função é uma primitiva de x^{n}.

Passo 4

Aplicando a regra da potência com n=\tfrac{1}{3}. A primitiva F(x) de x^{1/3} é
F(x)=\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}=\frac{x^{4/3}}{4/3}.
Para simplificar o denominador, dividir por 4/3 é multiplicar por 3/4. Logo
F(x)=\frac{3}{4}x^{4/3}.

Passo 5

Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para integrar de 1 a 8: a integral definida é F(8)-F(1), isto é,
\int_{1}^{8} x^{1/3}\,dx = F(8)-F(1) = \frac{3}{4} \,8^{4/3} - \frac{3}{4}\,1^{4/3}.

Passo 6

Calcular os termos numéricos passo a passo.
Primeiro, entender 8^{4/3}. Com expoentes fracionários:
x^{a/b} = \bigl(x^{1/b}\bigr)^{a} = \bigl(\sqrt[b]{x}\bigr)^{a}.
Então
8^{4/3} = \bigl(8^{1/3}\bigr)^{4} = (\sqrt[3]{8})^{4}.
Como \sqrt[3]{8}=2, temos
8^{4/3} = 2^{4} = 16.
Também 1^{4/3}=1.
Agora substituir em F(8)-F(1):
F(8)-F(1)=\frac{3}{4}\cdot 16 - \frac{3}{4}\cdot 1.
Calcule cada produto:
\frac{3}{4}\cdot 16 = 3\cdot 4 = 12, \qquad \frac{3}{4}\cdot 1 = \frac{3}{4}.
Portanto a diferença é
12 - \frac{3}{4} = \frac{48}{4} - \frac{3}{4} = \frac{45}{4}.

Passo 7

Resumo rápido do raciocínio (sem repetir a resposta final): reescreveu-se \sqrt[3]{x} como x^{1/3}, obteve-se a primitiva \tfrac{3}{4}x^{4/3} pela regra da potência e avaliou-se entre 1 e 8, usando que 8^{4/3}=16.

Resposta

\frac{45}{4}

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