Ao calcularmos o valor de
obtemos:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
е)
.
a)
b)
c)
d)
е)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos o valor de $ I = \int_{0}^{1} \frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 1} , dx $. Estamos lidando com integração de funções racionais, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a fração antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Para isso, fazemos uma divisão polinomial. Vamos dividir
por
:
Isso aconteceu porque:
Então, nossa integral agora fica:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando essas regras, temos:
Passo 4
Vamos agora avaliar a antiderivada nos limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Subtraindo os dois valores:
Resposta
A alternativa correta é:
d) $ I = \frac{3 \pi - 4}{6} $