Ao calcularmos o valor de I=integral0^1 x^4+1x^2+1 d x obtemos:
a) I=13;
b) I=1;
c) I=4-3 pi6;
d) I=3 pi-46;
е) I=pi-26.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos o valor de $ I = \int_{0}^{1} \frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 1} , dx $. Estamos lidando com integração de funções racionais, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a fração antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x^4 + 1x^2 + 1. Para isso, fazemos uma divisão polinomial. Vamos dividir x^4 + 1 por x^2 + 1:
x^4 + 1x^2 + 1 = x^2 - 1 + 2x^2 + 1
Isso aconteceu porque:
x^4 + 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) + 2
Então, nossa integral agora fica:
I = integral0^1 ( x^2 - 1 + 2x^2 + 1 ) dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
integral x^2 , dx = x^33
integral 1 , dx = x
integral 1x^2 + 1 , dx = arctan(x)
Aplicando essas regras, temos:
I = [ x^33 - x + 2arctan(x) ]0^1

Passo 4

Vamos agora avaliar a antiderivada nos limites de 0 a 1:
Para x = 1:
1^33 - 1 + 2arctan(1) = 13 - 1 + 2 ( pi4 )
= 13 - 1 + pi2
= -23 + pi2
Para x = 0:
0^33 - 0 + 2arctan(0) = 0 - 0 + 0 = 0
Subtraindo os dois valores:
I = ( -23 + pi2 ) - 0 = -23 + pi2

Resposta

A alternativa correta é:
d) $ I = \frac{3 \pi - 4}{6} $

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