Descreva e esboce do domínio das seguintes funç oes:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descrever e esboçar o domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{x + y - 4} $. Isso envolve entender sobre funções que têm radiciação, ou seja, raízes quadradas, e como identificar para quais valores de $ x $ e $ y $ a função está definida. Vamos precisar usar conceitos de inequações e geometria no plano cartesiano para determinar e esboçar o domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não está definida nos números reais. Então, temos a condição:
Passo 3
Vamos reorganizar essa inequação para isolar uma das variáveis. Por exemplo, podemos resolver para $ y $:
Isso significa que, para cada valor de $ x $, o valor de $ y $ deve ser maior ou igual a $ 4 - x $.
Passo 4
Agora, vamos interpretar isso geometricamente. A equação $ y = 4 - x $ representa uma reta no plano cartesiano. Para encontrar o domínio da função, precisamos identificar todas as combinações de $ x $ e $ y $ que estão na reta ou acima dela, já que $ y $ deve ser maior ou igual a $ 4 - x $.
Passo 5
Para esboçar o domínio, desenhamos a reta $ y = 4 - x $ no plano $ xy $. Essa reta corta o eixo $ y $ no ponto $ (0, 4) $ e o eixo $ x $ no ponto $ (4, 0) $. O domínio da função será toda a região acima desta reta, incluindo a própria reta.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \sqrt{x + y - 4} $ consiste em todos os pares $ (x, y) $ que satisfazem a inequação $ y \geq 4 - x $. Geometricamente, isso corresponde à região no plano cartesiano que está na reta $ y = 4 - x $ e em todos os pontos acima dela. Portanto, o esboço do domínio será a área acima e sobre a reta $ y = 4 - x $.