Sejam f e g funções integráveis. A respeito das propriedades de integrais, assinale a única sentença FALSA:
а) integral[f(x)+g(x)] d x=integral f(x) d x+ integral g(x) d x
b) integral[f(x) cdot g(x)] d x=integral f(x) d x cdot integral g(x) d x;
c) integral[k cdot f(x)] d x=k cdot integral f(x) d x;
d) integrala^b f(x) d x=integrala^c f(x) d x+integralc^b f(x) d x, c in
е) integrala^b f(x) d x >= integrala^b g(x) d x caso f(x) >= g(x) para todo x in[a, b].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre propriedades das integrais, que faz parte do cálculo integral. O que a gente precisa fazer é analisar cinco afirmações sobre integrais e descobrir qual delas é FALSA. Pra isso, vamos precisar lembrar das propriedades básicas das integrais, como a linearidade, a aditividade e outras.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na afirmação a):
integral [f(x) + g(x)] , dx = integral f(x) , dx + integral g(x) , dx
Essa é uma propriedade conhecida como linearidade da integral, que diz que a integral da soma de duas funções é igual à soma das integrais das funções individualmente. Então, essa afirmação está CORRETA.

Passo 3

Agora, vamos para a afirmação b):
integral [f(x) cdot g(x)] , dx = integral f(x) , dx cdot integral g(x) , dx
Aqui a gente está falando sobre a integral do produto de duas funções. Diferente da propriedade da linearidade, não existe uma regra geral que diz que a integral do produto é igual ao produto das integrais. Isso só vale em casos específicos, como quando as funções são constantes ou de alguma forma multiplicativamente separáveis, o que não é garantido. Portanto, essa afirmação é FALSA.

Passo 4

Vamos continuar com a afirmação c):
integral [k cdot f(x)] , dx = k cdot integral f(x) , dx
Essa é outra parte da linearidade da integral, que permite fatorar constantes multiplicativas para fora da integral. Isso é sempre válido, então essa afirmação está CORRETA.

Passo 5

Agora, a afirmação d):
integrala^b f(x) , dx = integrala^c f(x) , dx + integralc^b f(x) , dx, c in [a, b]
Essa propriedade é chamada de aditividade da integral sobre intervalos adjacentes. Ela diz que a integral de a a b pode ser dividida em duas integrais menores de a a c e de c a b. Isso é totalmente válido, então essa afirmação está CORRETA.

Passo 6

Por fim, a afirmação e):
integrala^b f(x) , dx >= integrala^b g(x) , dx se f(x) >= g(x) para todo x in [a, b]
Essa propriedade diz que se uma função f(x) é sempre maior ou igual a outra função g(x) no intervalo [a, b], então a integral de f(x) também será maior ou igual à integral de g(x). Isso é uma consequência direta da ordem das integrais, então essa afirmação está CORRETA.

Resposta

A única sentença falsa é a opção b):
integral [f(x) cdot g(x)] , dx = integral f(x) , dx cdot integral g(x) , dx

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