A integral
é equivalente, por meio da substituição inversa
, a integral trigonométrica:
а)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.
а)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral que envolve uma expressão quadrática elevada a 3/2. O desafio é encontrar, usando substituição inversa $ x = f(\theta) $, qual das alternativas dadas representa essa integral em termos de uma integral trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica, que é uma técnica para simplificar integrais envolvendo expressões quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da integral: $ 36x^2 + 4 $. Podemos fatorar essa expressão para facilitar a substituição:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, para fazer a substituição trigonométrica, vamos querer transformar $ 9x^2 + 1 $ de uma forma que se pareça com $ \tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta $. Para isso, vamos ajustar os coeficientes:
Então, podemos definir:
Passo 4
Com essa substituição, precisamos encontrar $ dx $ em termos de $ d\theta $. Diferenciando $ x = \frac{1}{3} \tan \theta $:
Passo 5
Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Passo 6
Comparando com as opções dadas, vemos que a integral equivalente é:
Resposta
A alternativa correta é a c) $ \frac{8}{3} \int \sec ^{5} \theta , d\theta $.