A integral
integral(36 x^2+4)^32 d x
é equivalente, por meio da substituição inversa x=f(theta), a integral trigonométrica:
а) 38 integral sec ^5 theta d theta;
b) 38 integral sec ^3 theta d theta;
c) 83 integral sec ^5 theta d theta;
d) 83 integral sec ^3 theta d theta;
e) 8 integral(3 tan theta+1)^3 sec ^2 theta d theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral que envolve uma expressão quadrática elevada a 3/2. O desafio é encontrar, usando substituição inversa $ x = f(\theta) $, qual das alternativas dadas representa essa integral em termos de uma integral trigonométrica. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica, que é uma técnica para simplificar integrais envolvendo expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da integral: $ 36x^2 + 4 $. Podemos fatorar essa expressão para facilitar a substituição:
36x^2 + 4
Então, a integral fica:
36x^2 + 4 = 4(9x^2 + 1)

Passo 3

Agora, para fazer a substituição trigonométrica, vamos querer transformar $ 9x^2 + 1 $ de uma forma que se pareça com $ \tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta $. Para isso, vamos ajustar os coeficientes:
9x^2 + 1
Então, podemos definir:
tan^2 theta + 1 = sec^2 theta

Passo 4

Com essa substituição, precisamos encontrar $ dx $ em termos de $ d\theta $. Diferenciando $ x = \frac{1}{3} \tan \theta $:
dx

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
8 integral (9x^2 + 1)^32 dx = 8 integral (sec^2 theta)^32 cdot 13 sec^2 theta dtheta = 8 cdot 13 integral sec^3 theta dtheta = 83 integral sec^5 theta dtheta

Passo 6

Comparando com as opções dadas, vemos que a integral equivalente é:
83 integral sec^5 theta dtheta

Resposta

A alternativa correta é a c) $ \frac{8}{3} \int \sec ^{5} \theta , d\theta $.

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