Calculate.
integral x3-x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x3 - x^2 ,dx. O conteúdo é integração de funções racionais simples usando substituição, pois o numerador é proporcional à derivada do denominador.

Passo 2

Para aplicar a técnica de substituição, definimos u = 3 - x^2. Essa escolha é natural porque a derivada de 3 - x^2 envolve exatamente x, presente no numerador.
Calculamos a diferencial de u:
du = ddx(3 - x^2),dx = -2x,dx
Logo, podemos isolar x,dx:
x,dx = -tfrac12 ,du

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
integral x3 - x^2 ,dx = integral 1u l(-tfrac12,dur) = -tfrac12 integral duu
Agora integramos usando a fórmula de integral do logaritmo:
-tfrac12 integral duu = -tfrac12 lnl|ur| + C
Voltando à variável x, substituímos u = 3 - x^2, temos:
-tfrac12 lnl|3 - x^2r| + C

Resposta

-\tfrac12 \ln\bigl|3 - x^2\bigr| + C

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