Determine, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais de
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função $ f(x) = \frac{3x + 1}{4x^2 - 1} $. Isso envolve entender o que são assíntotas e como identificá-las em funções racionais. Vamos precisar lembrar das definições de assíntotas horizontais e verticais e aplicar um pouco de álgebra para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas são retas verticais às quais a função se aproxima quando $ x $ se aproxima de certos valores que fazem o denominador da fração igual a zero (já que a divisão por zero não é definida).
Para encontrar as assíntotas verticais da nossa função $ f(x) = \frac{3x + 1}{4x^2 - 1} $, precisamos encontrar os valores de $ x $ que tornam o denominador zero.
Vamos resolver a equação $ 4x^2 - 1 = 0 $:
Então, as assíntotas verticais estão em $ x = \frac{1}{2} $ e $ x = -\frac{1}{2} $.
Passo 3
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas são retas horizontais que a função se aproxima à medida que $ x $ vai para $ +\infty $ ou $ -\infty $.
Para funções racionais (quociente de dois polinômios), a existência de assíntotas horizontais depende dos graus dos polinômios do numerador e do denominador.
- Se o grau do numerador for menor que o grau do denominador, a assíntota horizontal é $ y = 0 $.
- Se os graus forem iguais, a assíntota é a razão dos coeficientes principais.
- Se o grau do numerador for maior, não há assíntota horizontal (pode haver assíntota oblíqua).
Na nossa função $ f(x) = \frac{3x + 1}{4x^2 - 1} $, o grau do numerador é 1 e o grau do denominador é 2. Como 1 < 2, a assíntota horizontal é $ y = 0 $.
Resposta
As assíntotas verticais da função são $ x = \frac{1}{2} $ e $ x = -\frac{1}{2} $, e a assíntota horizontal é $ y = 0 $.