Calculate the amount of work input a refrigerator needs to make ice cubes out of a tray of 0.25 kg liquid water at 10^{\circ} \mathrm{C}. Assume the refrigerator works in a Carnot cycle between -8^{\circ} \mathrm{C} and 35^{\circ} \mathrm{C} with a motor-compressor of 750 W . How much time does it take if this is the only cooling load?

Passo 1

We têm uma bandeja com massa m = 0{,}25\\ \mathrm{kg} de água líquida a 10{,}0\,^\circ\mathrm{C} que deve virar gelo a -8{,}0\,^\circ\mathrm{C}. O ciclo de refrigeração opera como Carnot entre a temperatura de resfriamento T_L = -8{,}0\,^\circ\mathrm{C} e o ambiente quente T_H = 35{,}0\,^\circ\mathrm{C}. Vamos precisar de calor específico da água líquida c_{\mathrm{w}} = 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, calor específico do gelo c_{\mathrm{i}} = 2090\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e calor latente de fusão L_f = 334000\\ \mathrm{J/kg}. A potência do motor-compressor é P = 750\\ \mathrm{W}. O conteúdo é termodinâmica de refrigeração e coeficiente de desempenho de Carnot.

Passo 2

Calcular o calor extraído \;Q_L\; em três etapas:
– Resfriar a água de 10{,}0\,^\circ\mathrm{C} a 0\,^\circ\mathrm{C}:
Q_1 = m\,c_{\mathrm{w}}\,(10 - 0) = 0{,}25 \times 4186 \times 10 = 10465\\ \mathrm{J}.
– Congelar a água a 0\,^\circ\mathrm{C}:
Q_2 = m\,L_f = 0{,}25 \times 334000 = 83500\\ \mathrm{J}.
– Resfriar o gelo de 0\,^\circ\mathrm{C} a -8{,}0\,^\circ\mathrm{C}:
Q_3 = m\,c_{\mathrm{i}}\,(0 - (-8)) = 0{,}25 \times 2090 \times 8 = 4180\\ \mathrm{J}.
Somando:
Q_L = Q_1 + Q_2 + Q_3 = 10465 + 83500 + 4180 = 98145\\ \mathrm{J}.

Passo 3

O coeficiente de desempenho (COP) de Carnot é
\mathrm{COP} = \frac{T_L}{\,T_H - T_L\,} \quad\text{com temperaturas em Kelvin.}
Convertendo: T_L = 265{,}15\\ \mathrm{K}, T_H = 308{,}15\\ \mathrm{K}, então
\mathrm{COP} = \frac{265{,}15}{308{,}15 - 265{,}15} = \frac{265{,}15}{43{,}00} \approx 6{,}17.

Passo 4

O trabalho de entrada necessário é
W = \frac{Q_L}{\mathrm{COP}} = \frac{98145}{6{,}17} \approx 1{,}59\times 10^4\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Se o motor-compressor entrega P = 750\\ \mathrm{W} e toda essa potência serve só para essa carga, o tempo é
t = \frac{W}{P} = \frac{1{,}59\times 10^4}{750} \approx 21{,}2\\ \mathrm{s}.

Resposta

W \approx 1{,}59\times 10^4\\ \mathrm{J},\quad t \approx 21{,}2\\ \mathrm{s}.

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