Questão 4.7 Sejam
e
e
a fronteira do conjunto
. Calcule
em que
e
a normal que aponta para fora de
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície
, que é a fronteira do corpo
com a normal apontando para fora.
Conteúdo: Teorema da Divergência (Gauss), onde
Conteúdo: Teorema da Divergência (Gauss), onde
Passo 2
Calcular a divergência de
. Como
temos
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
onde
é o volume do sólido
.
Passo 4
Para achar
, note que em cada
com
, a coordenada
varia entre
e
, com
. Logo,
Em coordenadas polares
:
Passo 5
Avaliar
. Faça a substituição
Quando
,
; quando
,
. Então
Portanto
Passo 6
Finalmente, o fluxo é