Questão 4.7 Sejam B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right. e \left.x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4\right\} e \sigma a fronteira do conjunto B. Calcule
\iint_{\sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} d S
em que \vec{F}(x, y, z)=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k} e \vec{n} a normal que aponta para fora de B.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec F(x,y,z)=x\,\vec i+y\,\vec j+z\,\vec k através da superfície \sigma, que é a fronteira do corpo
B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2\le1,\;x^2+y^2+z^2\le4\},
com a normal apontando para fora.
Conteúdo: Teorema da Divergência (Gauss), onde
\iint_{\sigma}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{B}\nabla\cdot\vec F\,dV.

Passo 2

Calcular a divergência de \vec F. Como
\vec F=(x,y,z),
temos
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z} =1+1+1=3.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
\iint_{\sigma}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{B}3\,dV =3\;V(B),
onde V(B) é o volume do sólido B.

Passo 4

Para achar V(B), note que em cada (x,y) com x^2+y^2\le1, a coordenada z varia entre -\sqrt{4-r^2} e +\sqrt{4-r^2}, com r^2=x^2+y^2. Logo,
V(B) =\iint_{x^2+y^2\le1}\Bigl[2\sqrt{4-(x^2+y^2)}\Bigr]\,dx\,dy.
Em coordenadas polares (r,\theta):
V(B) =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}2\sqrt{4-r^2}\;r\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{1}2\,r\sqrt{4-r^2}\,dr =4\pi\int_{0}^{1}r\sqrt{4-r^2}\,dr.

Passo 5

Avaliar I=\displaystyle\int_{0}^{1}r\sqrt{4-r^2}\,dr. Faça a substituição
u=4-r^2,\quad du=-2r\,dr \quad\Longrightarrow\quad r\,dr=-\tfrac12\,du.
Quando r=0, u=4; quando r=1, u=3. Então
I =\int_{u=4}^{3}\sqrt{u}\,\Bigl(-\tfrac12\,du\Bigr) =\tfrac12\int_{3}^{4}\sqrt{u}\,du =\tfrac12\cdot\tfrac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{3}^{4} =\tfrac{1}{3}\bigl(4^{3/2}-3^{3/2}\bigr) =\tfrac{1}{3}(8-3\sqrt{3}).
Portanto
V(B) =4\pi\;I =4\pi\;\tfrac{1}{3}(8-3\sqrt{3}) =\tfrac{4\pi}{3}\,(8-3\sqrt{3}).

Passo 6

Finalmente, o fluxo é
\iint_{\sigma}\vec F\cdot\vec n\,dS =3\,V(B) =3\cdot\tfrac{4\pi}{3}\,(8-3\sqrt{3}) =4\pi\,(8-3\sqrt{3}).

Resposta

\iint_{\sigma}\vec F\cdot\vec n\,dS =4\pi\,(8-3\sqrt{3}).

Exercícios relacionados