In a cryogenic experiment you need to keep a container at -125^{\circ} \mathrm{C} although it gains 100 W due to heat transfer. What is the smallest motor you would need for a heat pump absorbing heat from the container and rejecting heat to the room at 20^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

Temos um container que está a -125^\circ\mathrm{C} e recebe Q_c = 100\\ \mathrm W de calor. Para mantê-lo frio usamos uma bomba de calor (refrigerador) que retira esse calor do container e rejeita para o ambiente a 20^\circ\mathrm{C}. Queremos o trabalho mínimo W fornecido por um motor, ou seja, o caso reversível.

Passo 2

Passamos as temperaturas para Kelvin:
T_c = -125^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 148{,}15\\ \mathrm K, \quad T_h = 20^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm K.

Passo 3

Para um refrigerador reversível, o coeficiente de desempenho é
\mathrm{COP}_R = \frac{Q_c}{W} = \frac{T_c}{T_h - T_c}.
Rearranjando, o trabalho mínimo é
W = Q_c\,\frac{T_h - T_c}{T_c}.

Passo 4

Substituindo valores:
W = 100\\ \mathrm W \times \frac{293{,}15 - 148{,}15}{148{,}15} = 100\\ \mathrm W \times \frac{145}{148{,}15} \approx 97{,}9\\ \mathrm W.

Resposta

O motor deve fornecer pelo menos aproximadamente 98\\ \mathrm W.

Exercícios relacionados