Calculate the maximum temperature to which a liquid food can be preheated by direct steam injection if the initial temperature and the initial solids concentration of the food are 20^{\circ} \mathrm{C} and 33 \% respectively, and the final solids concentration must not be less than 30 \%. How much saturated steam at 121 kPa pressure will be used? Assume that the heat capacity of the food is 3.0 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C} initially and 3.1 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C} after the steam injection.

Passo 1

Entender o que o problema pede e listar os dados importantes.
O enunciado dá:
T_0 = 20^\circ\mathrm{C},\qquad X_{s0}=33\% = 0{,}33
X_{sf,\min}=30\% = 0{,}30
c_{\text{food,ini}} = 3{,}0\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)},\qquad c_{\text{food,fim}} = 3{,}1\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}
p_{\text{steam}} = 121\\ \mathrm{kPa}
O que é pedido:
  • A temperatura máxima T_f que o alimento pode atingir por injeção direta de vapor, mantendo a fração de sólidos final não menor que 30\%.
  • A massa de vapor saturado a 121\\ \mathrm{kPa} que será usada (por kg de alimento inicial, a não ser que especifiquemos outra base).
Observações e escolhas práticas (não me peça nada, já escolhi para poder resolver):
  • Vou tomar como base m_0=1{,}00\\ \mathrm{kg} de alimento inicialmente (é hábito em problemas assim: dá respostas por kg de alimento).
  • A injeção direta de vapor fornece calor pela condensação (calor latente) e pelo resfriamento do condensado de T_s até T_f. Esse calor aquece o alimento inicial de T_0 até T_f.
  • Para a saturação do vapor a p=121\\ \mathrm{kPa} uso dados de tabela de vapor: temperatura de saturação aproximada \,T_s\approx 105^\circ\mathrm{C} e calor latente aproximado \,h_{fg}(105^\circ\mathrm{C})\approx 2230\\ \mathrm{kJ/kg}. Também uso calor específico da água líquida \,c_w\approx 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}. (Estou a usar valores aproximados de tabela de vapor; pequenas diferenças numéricas não mudam a lógica.)

Passo 2

Balanço de massa dos sólidos para determinar a massa máxima de vapor injetável sem que a fração de sólidos caia abaixo de 30\%.
  • Sólidos iniciais por 1\\ \mathrm{kg} de alimento:
m_{sólidos} = m_0 X_{s0} = 1\cdot 0{,}33 = 0{,}33\\ \mathrm{kg}.ó
  • Após inserir massa de vapor m_v (o vapor se condensa e vira água líquida, acrescentando massa de água), a massa total final será m_f = 1 + m_v. A fração final de sólidos será
X_{sf}=\frac{m_{sólidos}}{m_f}=\frac{0{,}33}{1+m_v}.ó
  • Para não ficar abaixo de 30\% e para maximizar a massa de vapor devemos usar exatamente X_{sf}=0{,}30. Assim:
0{,}30=\frac{0{,}33}{1+m_v}\quad\Rightarrow\quad 1+m_v=\frac{0{,}33}{0{,}30}=1{,}1.
Logo:
m_v = 1{,}1-1 = 0{,}10\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: por cada 1\\ \mathrm{kg} de alimento inicial podemos injetar no máximo 0{,}10\\ \mathrm{kg} (ou 100\\ \mathrm{g}) de vapor sem reduzir os sólidos abaixo de 30\%.

Passo 3

Montar o balanço de energia físico e explicar termos (aula curta e aplicada).
O vapor saturado entra à temperatura de saturação T_s e se condensa; dois mecanismos liberam calor para o alimento:
  1. Calor latente da condensação: m_v\cdot h_{fg}(T_s).
  2. Calor sensível do condensado ao resfriar de T_s até a temperatura final T_f: m_v\cdot c_w\,(T_s-T_f).
Esse calor total liberado pelo vapor é usado para aquecer o alimento inicial de T_0 até T_f. Como o vapor é injetado e condensa diretamente no produto, o caminho físico é: o condensado não precisa ser aquecido desde T_0 — ele é fonte de calor. Por isso o balanço mais direto é:
\text{(calor liberado pelo vapor)}=\text{(calor absorvido pelo alimento inicial)}.
Escrevendo em fórmula:
m_v\left[h_{fg}(T_s) + c_w\,(T_s-T_f)\right] = m_0\,c_{\text{food,ini}}\,(T_f-T_0).
Explicação das variáveis:
  • m_v é a massa de vapor injetada (kg).
  • h_{fg}(T_s) é o calor latente de vaporização à temperatura de saturação do vapor (kJ/kg).
  • c_w é o calor específico da água líquida (kJ/kg°C).
  • T_s é a temperatura de saturação do vapor saturado (°C).
  • T_f é a temperatura final do produto (°C), incógnita.
  • m_0 é a massa inicial do alimento ( 1\\ \mathrm{kg} na nossa base).
  • c_{\text{food,ini}} é o calor específico do alimento antes da injeção ( 3{,}0\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}).
  • T_0 é a temperatura inicial do alimento ( 20^\circ\mathrm{C}).
Comentário sobre c_{\text{food,fim}}=3{,}1\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}: esse valor é a capacidade térmica do produto final diluído; não é necessário usá-lo explicitamente neste balanço porque o calor absorvido para aquecer o alimento inicial de T_0 até T_f é governado pelo calor específico do alimento antes da injeção enquanto o aquecimento do condensado não é um termo de absorção (o condensado libera calor ao resfriar). A equação acima é a forma usual e direta para injeção direta de vapor que condensa no produto.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e resolver para T_f.
Valores tomados (de Passo 1):
m_0=1{,}00\\ \mathrm{kg},\qquad m_v=0{,}10\\ \mathrm{kg},
h_{fg}(T_s)=2230\\ \mathrm{kJ/kg}\quad(\text{aprox. a }T_s\approx 105^\circ\mathrm{C}),
T_s=105^\circ\mathrm{C},\qquad c_w=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)},
c_{\text{food,ini}}=3{,}0\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)},\qquad T_0=20^\circ\mathrm{C}.
Balanço:
0{,}10\Big[2230 + 4{,}18\,(105-T_f)\Big] = 1{,}00\cdot 3{,}0\,(T_f-20).
Faço a álgebra passo a passo:
0{,}10\cdot 2230 = 223{,}0\\ \mathrm{kJ},
0{,}10\cdot 4{,}18\,(105-T_f) = 0{,}418\,(105-T_f)=43{,}89 - 0{,}418\,T_f.
Somando os termos do lado esquerdo:
\text{LHS}=223{,}0 + 43{,}89 - 0{,}418\,T_f = 266{,}89 - 0{,}418\,T_f.
O lado direito é:
\text{RHS}=3{,}0\,T_f - 60.
Igualando LHS e RHS:
266{,}89 - 0{,}418\,T_f = 3{,}0\,T_f - 60.
Agrupando termos em T_f:
266{,}89 + 60 = 3{,}0\,T_f + 0{,}418\,T_f,
326{,}89 = 3{,}418\,T_f.
Logo:
T_f = \frac{326{,}89}{3{,}418}\approx 95{,}6^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Interpretação e checagens rápidas (motivação para prova):
  • O resultado T_f\approx 95{,}6^\circ\mathrm{C} é menor que a temperatura de saturação do vapor T_s\approx 105^\circ\mathrm{C}, o que faz sentido físico: o vapor condensa e a mistura final fica um pouco abaixo da temperatura de saturação.
  • A massa de vapor necessária por 1\\ \mathrm{kg} de alimento inicial é m_v=0{,}10\\ \mathrm{kg} (100 g). Esse valor veio do balanço de sólidos: injetar mais água reduziria a fração de sólidos abaixo de 30\%.
  • Observação: se tivéssemos usado um valor ligeiramente diferente de h_{fg} ou T_s (por exemplo tabelas mais precisas), T_f mudaria um pouco; procedimento e ordem de grandeza permanecem.

Resposta

T_f \approx 95{,}6^\circ\mathrm{C}
m_{\text{vapor}} = 0{,}10\\ \mathrm{kg\\ de\\ vapor\\ saturado\\ a\\\ 121\\ kPa\\ por\\ kg\\ de\\ alimento\\ inicial}

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