One ice cube at -10^{\circ} \mathrm{C} weighing 30 g is added to a glass containing 200 ml of water at 20^{\circ} \mathrm{C}. Calculate the final water temperature when the ice cube melts completely. Assume that 3 kJ of heat are transferred from the glass to the water during the melting of the ice? Use the following values: the latent heat of fusion of the ice is 334 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}, the heat capacity of the ice is 1.93 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}, and the heat capacity of the water is 4.18 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O problema pede que eu calcule a temperatura final da água depois que um cubo de gelo de -10^\circ\mathrm{C} e massa 30\\ \mathrm{g} é colocado em um copo com 200\\ \mathrm{mL} de água a 20^\circ\mathrm{C}, supondo que o gelo derrete completamente. O enunciado ainda informa que durante o derretimento são transferidos 3\\ \mathrm{kJ} de calor do copo para a água. Dados fornecidos (vou listar exatamente como vou usar):
  • Massa do gelo: m_{\text{gelo}} = 30\\ \mathrm{g} = 0{,}03\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial do gelo: T_{\text{gelo,ini}} = -10^\circ\mathrm{C}.
  • Massa da água inicial: m_{\text{água}} = 200\\ \mathrm{mL} \approx 200\\ \mathrm{g} = 0{,}2\\ \mathrm{kg}á.
  • Temperatura inicial da água: T_{\text{água,ini}} = 20^\circ\mathrm{C}á.
  • Calor específico do gelo: c_{\text{gelo}} = 1{,}93\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}.
  • Calor específico da água líquida: c_{\text{água}} = 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}á.
  • Calor latente de fusão do gelo: L_f = 334\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Calor vindo do copo durante o derretimento: Q_{\text{copo}} = 3\\ \mathrm{kJ}.
Pergunta explícita: determinar a temperatura final T_{\text{final}} da mistura assumindo que todo o gelo derrete.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (aqui explico com calma para você entender):
  • Conservação de energia térmica (isolando o sistema água + gelo + calor do copo): o calor perdido pela água quente (e pelo copo, que é dado como 3\\ \mathrm{kJ}) é igual ao calor ganho pelo gelo para aquecer até 0^\circ\mathrm{C}, fundir e depois aquecer a água de fusão até a temperatura final. Ou seja, tudo se resume a somar trocas de calor.
  • Fórmula para aquecimento/resfriamento sem mudança de fase:
    Q = m\,c\,\Delta T,
    onde Q é o calor (positivo se recebido pelo corpo), m é a massa (kg), c é o calor específico ( \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}) e \Delta T = T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}} (em ^\circ\mathrm{C}).
  • Fórmula para mudança de fase (fusão):
    Q_{\text{fus}} = m\,L_f,
    onde L_f é o calor latente de fusão ( \mathrm{kJ/kg}).
  • Observação de sinais: vou calcular quantidades de calor como valores positivos quando representam a energia necessária para aquecer ou fundir o gelo. O calor perdido pela água será tratado como uma quantidade disponível que diminui a energia da água (vou colocar essa energia do lado das “fontes” de calor).

Passo 3

Calor necessário para aquecer o gelo de -10^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}.
Usando Q = m c \Delta T com m = 0{,}03\\ \mathrm{kg}, c_{\text{gelo}} = 1{,}93\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)} e \Delta T = 0 - (-10) = 10^\circ\mathrm{C}:
Q_1 = 0{,}03 \cdot 1{,}93 \cdot 10 = 0{,}579\\ \mathrm{kJ}.
Explicando: esse é o calor que o gelo precisa receber só para ir de -10^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calor necessário para fundir completamente o gelo à 0^\circ\mathrm{C}.
Usando Q_{\text{fus}} = m L_f:
Q_2 = 0{,}03 \cdot 334 = 10{,}02\\ \mathrm{kJ}.
Explicando: esse é o calor para transformar os 0{,}03\\ \mathrm{kg} de gelo em água a 0^\circ\mathrm{C}, sem mudança de temperatura durante a fusão.

Passo 5

Calor necessário para aquecer a água formada (da fusão) de 0^\circ\mathrm{C} até a temperatura final T (vou chamar T de T_{\text{final}}).
A massa dessa água é a mesma do gelo: 0{,}03\\ \mathrm{kg}. Usa-se c_{\text{água}} = 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}á. Então:
Q_3 = 0{,}03 \cdot 4{,}18 \cdot (T - 0) = 0{,}1254\,T\\ \mathrm{kJ},
onde T está em ^\circ\mathrm{C}. (Aqui Q_3 é a energia que a recém-derretida água precisa para atingir T.)

Passo 6

Calor que a água inicialmente quente perde ao resfriar de 20^\circ\mathrm{C} até T.
Usando m_{\text{água}} = 0{,}2\\ \mathrm{kg}á e c_{\text{água}} = 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}á:
Q_{\text{água,perde}} = 0{,}2 \cdot 4{,}18 \cdot (20 - T) = 0{,}836\,(20 - T) = 16{,}72 - 0{,}836\,T\\ \mathrm{kJ}.á
Explicando: esse é o calor disponível vindo da água quente ao esfriar até T.

Passo 7

Montando o balanço de energia (conservação). As fontes de calor que aquecem e fundem o gelo são:
  • o calor perdido pela água quente: Q_{\text{água,perde}}á,
  • mais o calor extra vindo do copo: Q_{\text{copo}} = 3\\ \mathrm{kJ}.
As demandas de calor (o que precisa ser fornecido ao gelo) são:
  • aquecer o gelo até 0^\circ\mathrm{C}: Q_1,
  • fundir o gelo: Q_2,
  • aquecer a água de fusão até T: Q_3.
Logo a equação de balanço é
Q_{\text{água,perde}} + Q_{\text{copo}} = Q_1 + Q_2 + Q_3.á
Agora substituo as expressões numéricas de cada termo.

Passo 8

Substituindo valores na equação do balanço:
Escrevo o lado esquerdo:
Q_{\text{água,perde}} + Q_{\text{copo}} = (16{,}72 - 0{,}836\,T) + 3 = 19{,}72 - 0{,}836\,T.á
Escrevo o lado direito:
Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0{,}579 + 10{,}02 + 0{,}1254\,T = 10{,}599 + 0{,}1254\,T.
Igualando:
19{,}72 - 0{,}836\,T = 10{,}599 + 0{,}1254\,T.
Agora resolvo para T. Primeiro passo, isolo termos constantes e termos com T:
19{,}72 - 10{,}599 = 0{,}1254\,T + 0{,}836\,T.
Calculo do lado esquerdo:
19{,}72 - 10{,}599 = 9{,}121.
Calculo do coeficiente em T no lado direito:
0{,}1254 + 0{,}836 = 0{,}9614.
Assim:
0{,}9614\,T = 9{,}121.
Logo:
T = \frac{9{,}121}{0{,}9614} \approx 9{,}49\\ ^\circ\mathrm{C}.
Explanação rápida: o resultado indica que a água final fica acima de 0^\circ\mathrm{C}, logo a suposição de que todo o gelo derreteu é consistente.

Passo 9

Checagem das ordens de grandeza: o calor de fusão 10{,}02\\ \mathrm{kJ} é a maior parcela que o gelo precisa; a água inicial tinha disponível 16{,}72\\ \mathrm{kJ} ao esfriar até 0^\circ\mathrm{C}, mais 3\\ \mathrm{kJ} extra do copo totalizando 19{,}72\\ \mathrm{kJ}, o que é suficiente para aquecer o gelo, fundi-lo e ainda elevar a mistura até cerca de 9{,}5^\circ\mathrm{C}. Tudo coerente.

Resposta

T_{\text{final}} = 9,49^\circ\mathrm{C}

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