One ice cube at
weighing 30 g is added to a glass containing 200 ml of water at
. Calculate the final water temperature when the ice cube melts completely. Assume that 3 kJ of heat are transferred from the glass to the water during the melting of the ice? Use the following values: the latent heat of fusion of the ice is
, the heat capacity of the ice is
, and the heat capacity of the water is
.
Passo 1
O problema pede que eu calcule a temperatura final da água depois que um cubo de gelo de
e massa
é colocado em um copo com
de água a
, supondo que o gelo derrete completamente. O enunciado ainda informa que durante o derretimento são transferidos
de calor do copo para a água. Dados fornecidos (vou listar exatamente como vou usar):
- Massa do gelo:
. - Temperatura inicial do gelo:
. - Massa da água inicial:
. - Temperatura inicial da água:
. - Calor específico do gelo:
. - Calor específico da água líquida:
. - Calor latente de fusão do gelo:
. - Calor vindo do copo durante o derretimento:
.
Pergunta explícita: determinar a temperatura final
da mistura assumindo que todo o gelo derrete.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (aqui explico com calma para você entender):
-
Conservação de energia térmica (isolando o sistema água + gelo + calor do copo): o calor perdido pela água quente (e pelo copo, que é dado como
) é igual ao calor ganho pelo gelo para aquecer até , fundir e depois aquecer a água de fusão até a temperatura final. Ou seja, tudo se resume a somar trocas de calor. -
Fórmula para aquecimento/resfriamento sem mudança de fase:onde
é o calor (positivo se recebido pelo corpo), é a massa (kg), é o calor específico ( ) e (em ). -
Fórmula para mudança de fase (fusão):onde
é o calor latente de fusão ( ). -
Observação de sinais: vou calcular quantidades de calor como valores positivos quando representam a energia necessária para aquecer ou fundir o gelo. O calor perdido pela água será tratado como uma quantidade disponível que diminui a energia da água (vou colocar essa energia do lado das “fontes” de calor).
Passo 3
Calor necessário para aquecer o gelo de
até
.
Usando
com
,
e
:
Explicando: esse é o calor que o gelo precisa receber só para ir de
a
.
Passo 4
Calor necessário para fundir completamente o gelo à
.
Usando
:
Explicando: esse é o calor para transformar os
de gelo em água a
, sem mudança de temperatura durante a fusão.
Passo 5
Calor necessário para aquecer a água formada (da fusão) de
até a temperatura final
(vou chamar
de
).
A massa dessa água é a mesma do gelo:
. Usa-se
. Então:
onde
está em
. (Aqui
é a energia que a recém-derretida água precisa para atingir
.)
Passo 6
Calor que a água inicialmente quente perde ao resfriar de
até
.
Usando
e
:
Explicando: esse é o calor disponível vindo da água quente ao esfriar até
.
Passo 7
Montando o balanço de energia (conservação). As fontes de calor que aquecem e fundem o gelo são:
- o calor perdido pela água quente:
, - mais o calor extra vindo do copo:
.
As demandas de calor (o que precisa ser fornecido ao gelo) são:
- aquecer o gelo até
: , - fundir o gelo:
, - aquecer a água de fusão até
: .
Logo a equação de balanço é
Agora substituo as expressões numéricas de cada termo.
Passo 8
Substituindo valores na equação do balanço:
Escrevo o lado esquerdo:
Escrevo o lado direito:
Igualando:
Agora resolvo para
. Primeiro passo, isolo termos constantes e termos com
:
Calculo do lado esquerdo:
Calculo do coeficiente em
no lado direito:
Assim:
Logo:
Explanação rápida: o resultado indica que a água final fica acima de
, logo a suposição de que todo o gelo derreteu é consistente.
Passo 9
Checagem das ordens de grandeza: o calor de fusão
é a maior parcela que o gelo precisa; a água inicial tinha disponível
ao esfriar até
, mais
extra do copo totalizando
, o que é suficiente para aquecer o gelo, fundi-lo e ainda elevar a mistura até cerca de
. Tudo coerente.