1. O que ocorreria se o ângulo da base cônica fosse variado?

Passo 1

O enunciado é curto e pergunta: “O que ocorreria se o ângulo da base cônica fosse variado?”\n
Informações fornecidas: nenhuma além da frase acima.\n
Observações importantes (sem resolver ainda): há ambiguidade sobre o que exatamente se entende por “ângulo da base cônica” e sobre quais grandezas permanecem fixas quando esse ângulo muda. Não sei se:
  1. o ângulo referido é o ângulo no vértice (ângulo total no ápice), ou o semiângulo entre o eixo e a geratriz (convenção comum), ou outro ângulo;
  2. o que fica fixo ao variar o ângulo: a altura h, o raio da base r, a geratriz (comprimento oblíquo) s, o volume V, a área lateral, etc.\n
    Como o enunciado não diz o que se mantém constante, vou analisar as interpretações usuais e os casos mais relevantes (mantendo a explicação passo a passo e didática).

Passo 2

Definições e relações básicas do cone circular reto (para termos comuns):\n
Defina as grandezas:
r
é o raio da base,\n
h
é a altura (distância do vértice ao centro da base),\n
s
é a geratriz (segmento do vértice até a circunferência da base),\n
e tome o ângulo \theta como o semiângulo no vértice, ou seja, o ângulo entre o eixo do cone e a geratriz (esta é a convenção que usaremos; se o enunciado usou outra, as fórmulas mudam só por fatores geométricos simples).\n
Na seção lateral do cone temos um triângulo retângulo com catetos r e h e hipotenusa s. Dessas relações básicas seguem:
\tan\theta = \frac{r}{h}, \qquad \sin\theta = \frac{r}{s}, \qquad \cos\theta = \frac{h}{s}, \qquad s = \sqrt{r^2+h^2}.

Passo 3

Fórmulas do cone que usaremos (explicando cada termo):\n
Volume:
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h,
onde r^{2}h vem da base ( \pi r^2) vezes a altura, com fator \tfrac{1}{3} porque o cone tem um terço do volume de um cilindro de mesma base e altura.\n
Área lateral:
A_\text{lat}=\pi r s,
porque a área lateral de um cone é uma setor circular cuja área é base ( \pi r) vezes geratriz s (formalmente: comprimento da circunferência (2\pi r) vezes apótema \tfrac{s}{2}, que dá \pi r s).\n
Área total:
A_\text{tot}=A_\text{lat}+\pi r^2=\pi r s+\pi r^2.

Passo 4

Caso 1 — variar \theta mantendo a altura h fixa (situação simples e comum):\n
Da relação \tan\theta=\dfrac{r}{h} obtemos
r=h\tan\theta.
Substituindo em V:
V=\frac{1}{3}\pi (h\tan\theta)^{2}h=\frac{1}{3}\pi h^{3}\tan^{2}\theta.
Aqui h é constante, então V cresce com \tan^{2}\theta. Conclusão: aumentando \theta (cone mais “aberto”), o raio aumenta e o volume aumenta rapidamente.\n
Para a geratriz usamos s=h/\cos\theta (porque s=h/\cos\theta vem de s=h/\cos\theta). Então a área lateral vira
A_\text{lat}=\pi r s=\pi (h\tan\theta)\left(\frac{h}{\cos\theta}\right)=\pi h^{2}\frac{\tan\theta}{\cos\theta}=\pi h^{2}\tan\theta\operatorname{sec}\theta.
Também cresce quando \theta aumenta (para 0<\theta<\tfrac{\pi}{2}). Intuição física: com h fixo, abrir o ângulo aumenta muito a base, ficando um cone mais “achatado” e de maior volume e área.

Passo 5

Caso 2 — variar \theta mantendo a geratriz s fixa (útil quando a “aresta” mantém comprimento):\n
Da trigonometria do triângulo:
r=s\sin\theta,\qquad h=s\cos\theta.
Volume:
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi (s\sin\theta)^{2}(s\cos\theta)=\frac{1}{3}\pi s^{3}\sin^{2}\theta\cos\theta.
Agora V é uma função de \theta. Podemos estudar seu máximo/minimo usando derivada.\n
Defina f(\theta)=\sin^{2}\theta\cos\theta. Calculando a derivada:
f'(\theta)=2\sin\theta\cos\theta\cdot\cos\theta+\sin^{2}\theta\cdot(-\sin\theta) =2\sin\theta\cos^{2}\theta-\sin^{3}\theta.
Factorizando:
f'(\theta)=\sin\theta\bigl(2\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\bigr).
As soluções de f'(\theta)=0 no intervalo 0<\theta<\tfrac{\pi}{2} são \sin\theta=0 (descartada) e
2\cos^{2}\theta=\sin^{2}\theta
ou, usando \cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta,
2(1-\sin^{2}\theta)=\sin^{2}\theta \implies 2-2\sin^{2}\theta=\sin^{2}\theta \implies 3\sin^{2}\theta=2.
Daí
\sin^{2}\theta=\frac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad \sin\theta=\sqrt{\frac{2}{3}}.
Logo o volume atinge um máximo quando
\theta=\arcsin\!\left(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right)\approx 54{,}7356^\circ.
Interpretação: com a geratriz fixa, existe um ângulo ótimo (aprox 54{,}7^\circ) em que o volume é máximo; abrir demais ou fechar demais reduz o volume. A área lateral aqui é
A_\text{lat}=\pi r s=\pi s^{2}\sin\theta,
que aumenta monotonamente com \theta (porque \sin\theta aumenta em 0<\theta<\tfrac{\pi}{2}), mas o volume combina \sin^{2}\theta\cos\theta e tem um máximo interior.

Passo 6

Caso 3 — variar \theta mantendo o volume V fixo (situação prática: precisamos de certo volume e mudamos a abertura):\n
Do volume
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h
e da relação r=h\tan\theta (mesma convenção), temos
V=\frac{1}{3}\pi h^{3}\tan^{2}\theta.
Isolando h:
h=\left(\frac{3V}{\pi\tan^{2}\theta}\right)^{1/3}.
Isto mostra que, mantendo V fixo, ao aumentar \theta (maior \tan\theta) a altura h diminui com lei h\propto\tan^{-2/3}\theta. O raio é
r=h\tan\theta=\left(\frac{3V}{\pi}\right)^{1/3}\tan^{1/3}\theta,
ou seja, r\propto\tan^{1/3}\theta. Conclusão: com volume fixo, abrir o ângulo faz o cone ficar mais largo ( r cresce, mas lentamente) e mais baixo ( h decresce mais acentuadamente).

Passo 7

Caso 4 — variar \theta mantendo o raio r fixo (ou seja, a base tem raio fixo):\n
Da relação r=h\tan\theta isolamos
h=\frac{r}{\tan\theta}.
O volume fica
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi r^{3}\cot\theta.
Como \cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta} diminui quando \theta aumenta (em 0<\theta<\tfrac{\pi}{2}), o volume diminui com \theta. Intuição: se a base tem raio fixo, abrir o ângulo apenas “achata” o cone, diminuindo a altura e, portanto, reduzindo o volume.

Passo 8

Resumo qualitativo já extraído e interpretação física intuitiva:\n
  • Aumentar \theta = “abrir” o cone ≈ deixa o cone mais largo e mais raso. Diminuir \theta = “fechar” o cone ≈ deixa o cone mais estreito e mais alto.\n
  • Se o que fica fixo for h, então abrir \theta aumenta r, V e áreas.
  • Se o que fica fixo for s, existe um ângulo que maximiza V ( \theta\approx 54{,}74^\circ); área lateral aumenta com \theta.
  • Se o que fica fixo for V, aumentar \theta diminui h (forte) e aumenta r (fraco), porque h\propto\tan^{-2/3}\theta e r\propto\tan^{1/3}\theta.
  • Se o que fica fixo for r, aumentar \theta diminui h e portanto diminui V.\n
    Em todas as respostas a dependência precisa ser expressa levando em conta o que se mantém constante: sem isso, só dá para afirmar qualitativamente o efeito “mais aberto = mais largo e mais raso”.

Passo 9

Exemplo numérico rápido para intuição (caso h fixo): tome h=1.\n
Se \theta=30^\circ então \tan30^\circ=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\approx0{,}577, logo r\approx0{,}577 e
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\approx\frac{1}{3}\pi(0{,}577)^{2}\approx0{,}111\pi\approx0{,}349.
Se \theta=60^\circ então \tan60^\circ=\sqrt{3}\approx1{,}732, logo r\approx1{,}732 e
V=\frac{1}{3}\pi(1{,}732)^{2}\cdot1=\frac{1}{3}\pi\cdot3\approx\pi\approx3{,}142.
Ou seja, com a mesma altura h=1, abrir o ângulo de 30^\circ para 60^\circ faz o volume crescer de cerca de 0{,}35 para 3{,}14: muito aumento.

Passo 10

Um conselho para a prova (prático): sempre que a questão pedir “o que acontece se o ângulo variar”, pergunte mentalmente (ou identifique no enunciado) qual grandeza fica fixa. Se o enunciado não disser, responda com a frase: “Depende do que é mantido fixo” e apresente pelo menos os dois casos mais comuns (fixando h e fixando s ou V). Isso mostra que você entendeu a geometria e as relações entre r,h,s,\theta,V,A.\n
Você consegue! Só lembrar as relações trigonométricas básicas e substituir nas fórmulas do volume/área.

Resposta

Depende do que se mantém fixo ao variar o ângulo. Em termos simples: aumentar o ângulo (tornar o cone mais aberto) torna o cone mais largo e mais raso; diminuir o ângulo torna o cone mais estreito e mais alto.\n
Casos principais:\n
Se h fixo: r=h\tan\theta, V=\tfrac{1}{3}\pi h^{3}\tan^{2}\theta — aumentar \theta aumenta r, V e áreas.\n
Se s fixo: r=s\sin\theta,\\ h=s\cos\theta,\\ V=\tfrac{1}{3}\pi s^{3}\sin^{2}\theta\cos\theta — existe \theta\approx54{,}7356^\circ que maximiza V; área lateral cresce com \theta.\n
Se V fixo: h=\bigl(\tfrac{3V}{\pi\tan^{2}\theta}\bigr)^{1/3} e r\propto\tan^{1/3}\theta — ao aumentar \theta, h diminui e r cresce (comportamentos em potências -2/3 e +1/3).\n
Se r fixo: h=r/\tan\theta e V=\tfrac{1}{3}\pi r^{3}\cot\theta — aumentar \theta diminui h e diminui V.

Exercícios relacionados