- O que ocorreria se o ângulo da base cônica fosse variado?
Passo 1
O enunciado é curto e pergunta: “O que ocorreria se o ângulo da base cônica fosse variado?”\n
Informações fornecidas: nenhuma além da frase acima.\n
Observações importantes (sem resolver ainda): há ambiguidade sobre o que exatamente se entende por “ângulo da base cônica” e sobre quais grandezas permanecem fixas quando esse ângulo muda. Não sei se:
Informações fornecidas: nenhuma além da frase acima.\n
Observações importantes (sem resolver ainda): há ambiguidade sobre o que exatamente se entende por “ângulo da base cônica” e sobre quais grandezas permanecem fixas quando esse ângulo muda. Não sei se:
- o ângulo referido é o ângulo no vértice (ângulo total no ápice), ou o semiângulo entre o eixo e a geratriz (convenção comum), ou outro ângulo;
- o que fica fixo ao variar o ângulo: a altura
, o raio da base , a geratriz (comprimento oblíquo) , o volume , a área lateral, etc.\n
Como o enunciado não diz o que se mantém constante, vou analisar as interpretações usuais e os casos mais relevantes (mantendo a explicação passo a passo e didática).
Passo 2
Definições e relações básicas do cone circular reto (para termos comuns):\n
Defina as grandezas:
Defina as grandezas:
é o raio da base,\n
é a altura (distância do vértice ao centro da base),\n
é a geratriz (segmento do vértice até a circunferência da base),\n
e tome o ângulo como o semiângulo no vértice, ou seja, o ângulo entre o eixo do cone e a geratriz (esta é a convenção que usaremos; se o enunciado usou outra, as fórmulas mudam só por fatores geométricos simples).\n
Na seção lateral do cone temos um triângulo retângulo com catetos e
e hipotenusa
. Dessas relações básicas seguem:
e tome o ângulo
Na seção lateral do cone temos um triângulo retângulo com catetos
Passo 3
Fórmulas do cone que usaremos (explicando cada termo):\n
Volume:
Volume:
onde
vem da base (
) vezes a altura, com fator
porque o cone tem um terço do volume de um cilindro de mesma base e altura.\n
Área lateral:
Área lateral:
porque a área lateral de um cone é uma setor circular cuja área é base (
) vezes geratriz
(formalmente: comprimento da circunferência
vezes apótema
, que dá
).\n
Área total:
Área total:
Passo 4
Caso 1 — variar
mantendo a altura
fixa (situação simples e comum):\n
Da relação obtemos
Da relação
Substituindo em
:
Aqui
é constante, então
cresce com
. Conclusão: aumentando
(cone mais “aberto”), o raio aumenta e o volume aumenta rapidamente.\n
Para a geratriz usamos (porque
vem de
). Então a área lateral vira
Para a geratriz usamos
Também cresce quando
aumenta (para
). Intuição física: com
fixo, abrir o ângulo aumenta muito a base, ficando um cone mais “achatado” e de maior volume e área.
Passo 5
Caso 2 — variar
mantendo a geratriz
fixa (útil quando a “aresta” mantém comprimento):\n
Da trigonometria do triângulo:
Da trigonometria do triângulo:
Volume:
Agora
é uma função de
. Podemos estudar seu máximo/minimo usando derivada.\n
Defina . Calculando a derivada:
Defina
Factorizando:
As soluções de
no intervalo
são
(descartada) e
ou, usando
,
Daí
Logo o volume atinge um máximo quando
Interpretação: com a geratriz fixa, existe um ângulo ótimo (aprox
) em que o volume é máximo; abrir demais ou fechar demais reduz o volume. A área lateral aqui é
que aumenta monotonamente com
(porque
aumenta em
), mas o volume combina
e tem um máximo interior.
Passo 6
Caso 3 — variar
mantendo o volume
fixo (situação prática: precisamos de certo volume e mudamos a abertura):\n
Do volume
Do volume
e da relação
(mesma convenção), temos
Isolando
:
Isto mostra que, mantendo
fixo, ao aumentar
(maior
) a altura
diminui com lei
. O raio é
ou seja,
. Conclusão: com volume fixo, abrir o ângulo faz o cone ficar mais largo (
cresce, mas lentamente) e mais baixo (
decresce mais acentuadamente).
Passo 7
Caso 4 — variar
mantendo o raio
fixo (ou seja, a base tem raio fixo):\n
Da relação isolamos
Da relação
O volume fica
Como
diminui quando
aumenta (em
), o volume diminui com
. Intuição: se a base tem raio fixo, abrir o ângulo apenas “achata” o cone, diminuindo a altura e, portanto, reduzindo o volume.
Passo 8
Resumo qualitativo já extraído e interpretação física intuitiva:\n
- Aumentar
= “abrir” o cone ≈ deixa o cone mais largo e mais raso. Diminuir = “fechar” o cone ≈ deixa o cone mais estreito e mais alto.\n - Se o que fica fixo for
, então abrir aumenta , e áreas. - Se o que fica fixo for
, existe um ângulo que maximiza ( ); área lateral aumenta com . - Se o que fica fixo for
, aumentar diminui (forte) e aumenta (fraco), porque e . - Se o que fica fixo for
, aumentar diminui e portanto diminui .\n
Em todas as respostas a dependência precisa ser expressa levando em conta o que se mantém constante: sem isso, só dá para afirmar qualitativamente o efeito “mais aberto = mais largo e mais raso”.
Passo 9
Exemplo numérico rápido para intuição (caso
fixo): tome
.\n
Se então
, logo
e
Se
Se
então
, logo
e
Ou seja, com a mesma altura
, abrir o ângulo de
para
faz o volume crescer de cerca de
para
: muito aumento.
Passo 10
Um conselho para a prova (prático): sempre que a questão pedir “o que acontece se o ângulo variar”, pergunte mentalmente (ou identifique no enunciado) qual grandeza fica fixa. Se o enunciado não disser, responda com a frase: “Depende do que é mantido fixo” e apresente pelo menos os dois casos mais comuns (fixando
e fixando
ou
). Isso mostra que você entendeu a geometria e as relações entre
.\n
Você consegue! Só lembrar as relações trigonométricas básicas e substituir nas fórmulas do volume/área.
Você consegue! Só lembrar as relações trigonométricas básicas e substituir nas fórmulas do volume/área.
Resposta
Depende do que se mantém fixo ao variar o ângulo. Em termos simples: aumentar o ângulo (tornar o cone mais aberto) torna o cone mais largo e mais raso; diminuir o ângulo torna o cone mais estreito e mais alto.\n
Casos principais:\n
Se fixo:
,
— aumentar
aumenta
,
e áreas.\n
Se fixo:
— existe
que maximiza
; área lateral cresce com
.\n
Se fixo:
e
— ao aumentar
,
diminui e
cresce (comportamentos em potências
e
).\n
Se fixo:
e
— aumentar
diminui
e diminui
.
Casos principais:\n
Se
Se
Se
Se