For quick preparation of a cup of hot chocolate in a cafeteria, cocoa powder and sugar are added in a cup of water and the solution is heated by direct steam injection. If the initial temperature of all the ingredients is 15^{\circ} \mathrm{C}, the final temperature is 95^{\circ} \mathrm{C}, the mass of the solution is 150 g initially, and the heat capacity of the solution is 3.8 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}, calculate how much saturated steam at 110^{\circ} \mathrm{C} will be used. State your assumptions.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos (tudo que o problema dá e o que pede):
  • Temperatura inicial de todos os ingredientes: \,15^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final da bebida: \,95^\circ\mathrm{C}.
  • Massa inicial da solução (água + pó): \,150\\ \mathrm{g} (ou \,0{,}150\\ \mathrm{kg}).
  • Capacidade térmica da solução: \,3{,}8\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}^\circ\mathrm{C}.
  • Vapor injetado: vapor saturado a \,110^\circ\mathrm{C}.
  • Pede-se: massa de vapor saturado a \,110^\circ\mathrm{C} necessária para aquecer a solução de \,15^\circ\mathrm{C} para \,95^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Estratégia energética (apenas o enunciado do balanço, ainda sem cálculos): a energia necessária para aquecer a solução vem do vapor que se condensa e depois do resfriamento do condensado até a temperatura final. Portanto devemos aplicar um balanço de energia do tipo:
\text{Energia ganha pela solução}=\text{Energia liberada pelo vapor (latente)}+\text{Energia liberada pelo resfriamento do condensado}.çã
Nos próximos passos eu explico e uso cada termo detalhadamente.

Passo 3

Fórmula para o calor necessário para aquecer a solução e sua explicação:
A quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de uma massa é dada por
Q = m c \Delta T,
onde
  • Q é o calor (em \mathrm{kJ}),
  • m é a massa (em \mathrm{kg}),
  • c é a capacidade térmica (em \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}^\circ\mathrm{C}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}).
Aplicando ao nosso caso:
m_{\text{sol}} = 0{,}150\\ \mathrm{kg},\quad c_{\text{sol}} = 3{,}8\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}^\circ\mathrm{C},\quad \Delta T = 95-15 = 80^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Cálculo do calor necessário para aquecer a solução (mostrando contas passo a passo):
Q_{\text{sol}} = m_{\text{sol}}\,c_{\text{sol}}\,\Delta T = 0{,}150\cdot 3{,}8 \cdot 80.
Calculemos:
3{,}8\cdot 80 = 304,
0{,}150\cdot 304 = 45{,}6\\ \mathrm{kJ}.
Portanto a solução precisa de \,Q_{\text{sol}} = 45{,}6\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Explicação do que o vapor fornece de energia:
Quando o vapor saturado a \,110^\circ\mathrm{C} é injetado, ele se condensa liberando calor latente de vaporização (energia associada à mudança de fase vapor→líquido) à temperatura de condensação \,110^\circ\mathrm{C}. Depois de condensado, o líquido resultante (condensado) ainda está inicialmente a \,110^\circ\mathrm{C} e precisa se resfriar até \,95^\circ\mathrm{C}, liberando calor sensível adicional. A soma desses dois termos é a energia disponível por quilograma de vapor.

Passo 6

Valores e fórmulas para a energia liberada por 1 kg de vapor:
  • Energia latente (do vapor saturado a \,110^\circ\mathrm{C}): chamo de \lambda_{110}. Vou assumir um valor típico retirado de tabelas de vapor saturado: \,\lambda_{110}\approx 2225\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}. (assumo esse valor como aproximado; vou declarar essa aproximação nas hipóteses ao final).
  • Energia sensível liberada ao resfriar o condensado de \,110^\circ\mathrm{C} para \,95^\circ\mathrm{C}: dada por
Q_{\text{sensible}} = c_{\ell}\,(T_{\text{cond}}-T_{\text{final}}),
onde c_{\ell} é a capacidade térmica da água líquida, que vale aproximadamente \,4{,}18\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}^\circ\mathrm{C}. Aqui T_{\text{cond}}=110^\circ\mathrm{C} e T_{\text{final}}=95^\circ\mathrm{C}, então a queda é \,15^\circ\mathrm{C}.
Calculemos o termo sensível por kg de condensado:
Q_{\text{sensible}} = 4{,}18\cdot 15 = 62{,}7\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.

Passo 7

Energia total liberada por 1 kg de vapor (latente + sensível):
Q_{\text{por kg vapor}} = \lambda_{110} + Q_{\text{sensible}} = 2225 + 62{,}7 = 2287{,}7\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
Interpretação: cada quilograma de vapor saturado a \,110^\circ\mathrm{C}, ao se condensar e depois resfriar até \,95^\circ\mathrm{C}, libera aproximadamente \,2287{,}7\\ \mathrm{kJ}.

Passo 8

Cálculo da massa de vapor necessária usando balanço de energia:
Usamos
m_{\text{vapor}} = \frac{Q_{\text{sol}}}{Q_{\text{por kg vapor}}}.
Substituindo os números:
m_{\text{vapor}} = \frac{45{,}6}{2287{,}7}\\ \mathrm{kg}.
Faço a divisão:
m_{\text{vapor}} \approx 0{,}01994\\ \mathrm{kg}.

Passo 9

Converter para unidades usuais e arredondar:
m_{\text{vapor}} \approx 0{,}01994\\ \mathrm{kg} = 19{,}94\\ \mathrm{g} \approx 20{,}0\\ \mathrm{g}.

Passo 10

Hipóteses e observações (muito importantes — o que eu assumi para poder calcular):
  1. O vapor é completamente saturado a \,110^\circ\mathrm{C} e condensa totalmente ao entrar na solução. Não há vapor não condensado escapando.
  2. O calor latente usado foi aproximado por \,\lambda_{110}\approx 2225\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}, valor típico de tabela de vapor saturado (arredondado). Pequenas variações desse número mudariam ligeiramente o resultado.
  3. O condensado mistura instantaneamente com a solução e se resfria de \,110^\circ\mathrm{C} para \,95^\circ\mathrm{C}, liberando sensivelmente \,4{,}18\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}^\circ\mathrm{C} como calor (capacidade térmica da água líquida usada constante).
  4. Não há perdas de calor para o ambiente (processo adiabático ideal entre vapor e solução), nem trocas com a cafeteira; toda energia liberada pelo vapor vai para aquecer a solução.
  5. A capacidade térmica dada para a solução \,3{,}8\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}^\circ\mathrm{C} já considera água + pó (ou seja, não acrescentei calor adicional para pó separado).
  6. Desprezei variação de calor por mudanças de pressão e pequenas variações de cp com temperatura.
Se alguma dessas hipóteses não valer na prática (por exemplo, perdas de calor ou vapor não condensado), a massa real de vapor necessária será maior.

Resposta

m_{\text{vapor}}\approx 0{,}01994\\ \mathrm{kg}=19{,}94\\ \mathrm{g}\approx 20{,}0\\ \mathrm{g}

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