For quick preparation of a cup of hot chocolate in a cafeteria, cocoa powder and sugar are added in a cup of water and the solution is heated by direct steam injection. If the initial temperature of all the ingredients is
, the final temperature is
, the mass of the solution is 150 g initially, and the heat capacity of the solution is
, calculate how much saturated steam at
will be used. State your assumptions.
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos (tudo que o problema dá e o que pede):
- Temperatura inicial de todos os ingredientes:
. - Temperatura final da bebida:
. - Massa inicial da solução (água + pó):
(ou ). - Capacidade térmica da solução:
. - Vapor injetado: vapor saturado a
. - Pede-se: massa de vapor saturado a
necessária para aquecer a solução de para .
Passo 2
Estratégia energética (apenas o enunciado do balanço, ainda sem cálculos): a energia necessária para aquecer a solução vem do vapor que se condensa e depois do resfriamento do condensado até a temperatura final. Portanto devemos aplicar um balanço de energia do tipo:
Nos próximos passos eu explico e uso cada termo detalhadamente.
Passo 3
Fórmula para o calor necessário para aquecer a solução e sua explicação:
A quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de uma massa é dada por
A quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de uma massa é dada por
onde
-
é o calor (em ), -
é a massa (em ), -
é a capacidade térmica (em ), -
é a variação de temperatura (em ).
Aplicando ao nosso caso:
Passo 4
Cálculo do calor necessário para aquecer a solução (mostrando contas passo a passo):
Calculemos:
Portanto a solução precisa de
.
Passo 5
Explicação do que o vapor fornece de energia:
Quando o vapor saturado a é injetado, ele se condensa liberando calor latente de vaporização (energia associada à mudança de fase vapor→líquido) à temperatura de condensação
. Depois de condensado, o líquido resultante (condensado) ainda está inicialmente a
e precisa se resfriar até
, liberando calor sensível adicional. A soma desses dois termos é a energia disponível por quilograma de vapor.
Quando o vapor saturado a
Passo 6
Valores e fórmulas para a energia liberada por 1 kg de vapor:
- Energia latente (do vapor saturado a
): chamo de . Vou assumir um valor típico retirado de tabelas de vapor saturado: . (assumo esse valor como aproximado; vou declarar essa aproximação nas hipóteses ao final). - Energia sensível liberada ao resfriar o condensado de
para : dada por
onde
é a capacidade térmica da água líquida, que vale aproximadamente
. Aqui
e
, então a queda é
.
Calculemos o termo sensível por kg de condensado:
Passo 7
Energia total liberada por 1 kg de vapor (latente + sensível):
Interpretação: cada quilograma de vapor saturado a
, ao se condensar e depois resfriar até
, libera aproximadamente
.
Passo 8
Cálculo da massa de vapor necessária usando balanço de energia:
Usamos
Usamos
Substituindo os números:
Faço a divisão:
Passo 9
Converter para unidades usuais e arredondar:
Passo 10
Hipóteses e observações (muito importantes — o que eu assumi para poder calcular):
- O vapor é completamente saturado a
e condensa totalmente ao entrar na solução. Não há vapor não condensado escapando. - O calor latente usado foi aproximado por
, valor típico de tabela de vapor saturado (arredondado). Pequenas variações desse número mudariam ligeiramente o resultado. - O condensado mistura instantaneamente com a solução e se resfria de
para , liberando sensivelmente como calor (capacidade térmica da água líquida usada constante). - Não há perdas de calor para o ambiente (processo adiabático ideal entre vapor e solução), nem trocas com a cafeteira; toda energia liberada pelo vapor vai para aquecer a solução.
- A capacidade térmica dada para a solução
já considera água + pó (ou seja, não acrescentei calor adicional para pó separado). - Desprezei variação de calor por mudanças de pressão e pequenas variações de cp com temperatura.
Se alguma dessas hipóteses não valer na prática (por exemplo, perdas de calor ou vapor não condensado), a massa real de vapor necessária será maior.