Calculate the minimum work needed to remove a 10^{3} \mathrm{~kg} mass from the gravitational field of the earth. Neglecting friction, estimate the initial velocity at which this mass would need to leave the earth’s surface in order to escape if it were fired as a projectile. Suppose, however, it was a rocket that could accelerate at a constant rate for a period of 100s; in this case, what would be the force (thrust) required of the rocket engine in order to provide for escape of the 10^{3} \mathrm{~kg} mass?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que vou usar (sem resolver ainda).
O enunciado pede três coisas:
  • Calcular o trabalho mínimo necessário para remover uma massa de 10^{3}\\ \mathrm{kg} do campo gravitacional da Terra (isto é, levar a massa da superfície da Terra até r\to\infty).
  • Estimar a velocidade inicial (no nível da superfície), desprezando atrito, que essa massa precisaria ter para escapar (velocidade de escape).
  • Se, em vez de um projétil, for um foguete que acelera com aceleração constante durante 100\\ \mathrm{s}, qual deve ser a força (empuxo, thrust) do motor para permitir a fuga da massa de 10^{3}\\ \mathrm{kg}.
Constantes e dados numéricos que vou usar (valores usuais, indicados explicitamente):
  • Massa do objeto: m = 10^{3}\\ \mathrm{kg} (dado).
  • Constante gravitacional: G = 6{,}674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
  • Massa da Terra: M = 5{,}972\times10^{24}\\ \mathrm{kg}.
  • Raio da Terra (superfície): R = 6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade na superfície (aprox.): g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Tempo de aceleração do foguete: t = 100\\ \mathrm{s} (dado).
Observações de modelagem e hipóteses (usadas por simplicidade):
  • Desprezo a resistência do ar (enunciado já pede isso para o projétil).
  • No caso do foguete vou assumir massa constante m (não conto o consumo de massa do combustível) e empuxo constante durante t.
  • Levar até r\to\infty significa calcular a energia potencial gravitacional necessária para escapar.

Passo 2

Trabalho mínimo para remover a massa ao infinito — ideia e derivação.
Intuição física: Para levar uma massa desde a superfície da Terra até o infinito é preciso realizar trabalho contra a força gravitacional. A força gravitacional que age na massa a uma distância r do centro da Terra é
F(r)=\frac{G M m}{r^{2}}.
O trabalho mínimo (trabalho conservativo) para mover a massa da superfície (r=R) até o infinito é a integral negativa da força radial (ou, mais direto, a integral de F(r) no sentido de afastamento):
W_{\min}=\int_{R}^{\infty}\frac{G M m}{r^{2}}\,dr.
Agora integro passo a passo. A integral de r^{-2} é -r^{-1}, então
W_{\min}=G M m\left[-\frac{1}{r}\right]_{R}^{\infty}=G M m\left(0-\left(-\frac{1}{R}\right)\right)=\frac{G M m}{R}.
Interpretação: essa é a energia potencial gravitacional que a massa precisa ganhar para atingir energia potencial zero no infinito.
Substituo os valores numéricos. Primeiro calculei o produto G M (constante gravitacional vezes massa da Terra), frequentemente chamado de \mu=G M:
\mu=G M \approx 6{,}674\times10^{-11}\times5{,}972\times10^{24}\approx3{,}986\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}/s^{2}}.
Então
W_{\min}=\frac{\mu m}{R}=\frac{3{,}986\times10^{14}\times10^{3}}{6{,}371\times10^{6}}\\ \mathrm{J}.
Faço a divisão com cuidado:
\frac{3{,}986\times10^{17}}{6{,}371\times10^{6}} \approx 6{,}26\times10^{10}\\ \mathrm{J}.
Portanto o trabalho mínimo requerido é aproximadamente 6{,}26\times10^{10}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Velocidade de escape para um projétil — derivação por conservação de energia.
Princípio: desprezando atrito, para que um projétil escape da Terra (isto é, chegue infinitamente longe com velocidade final nula) a energia cinética inicial deve ser igual à energia potencial gravitacional necessária para ir até o infinito. Em fórmula:
\frac{1}{2}m v_{\rm esc}^{2} = \frac{G M m}{R}.
Note que m cancela dos dois lados, isso significa que a velocidade de escape não depende da massa do projétil:
v_{\rm esc}=\sqrt{\frac{2 G M}{R}}.
Já calculamos \mu=G M em passo anterior; agora substituo:
v_{\rm esc}=\sqrt{\frac{2\times3{,}986\times10^{14}}{6{,}371\times10^{6}}}.
Calculo em dois passos: o quociente interno é
\frac{2\mu}{R}\approx\frac{7{,}972\times10^{14}}{6{,}371\times10^{6}}\approx1{,}251\times10^{8}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}},
e a raiz quadrada dá
v_{\rm esc}\approx\sqrt{1{,}251\times10^{8}}\approx1{,}12\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.
Em unidades mais usuais, isso é cerca de 11{,}2\\ \mathrm{km/s}. Esse é o valor clássico: a velocidade de escape na superfície é aproximadamente 11{,}2\\ \mathrm{km/s}.

Passo 4

Força (empuxo) necessária se o foguete acelerar constantemente por 100\\ \mathrm{s}.
Modelo: empuxo para cima constante F. Força peso para baixo m g. Força resultante para cima é F - m g. Com massa assumida constante m, a aceleração líquida do foguete é
a_{\rm net}=\frac{F-mg}{m}=\frac{F}{m}-g.
Supondo que o foguete parte do repouso e acelera constantemente durante um intervalo t=100\\ \mathrm{s}, a velocidade alcançada ao fim desse intervalo é
v(t)=a_{\rm net}\,t=\left(\frac{F}{m}-g\right)t.
Queremos que essa velocidade seja pelo menos a velocidade de escape v_{\rm esc}. Impomos
\left(\frac{F}{m}-g\right)t = v_{\rm esc}.
Isolo F:
\frac{F}{m}= \frac{v_{\rm esc}}{t}+g, \qquad\text{ou}\qquad F = m\left(\frac{v_{\rm esc}}{t}+g\right).
Agora substituo os valores numéricos: m=10^{3}\\ \mathrm{kg}, v_{\rm esc}\approx1{,}12\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}, t=100\\ \mathrm{s}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
\frac{v_{\rm esc}}{t}\approx\frac{1{,}12\times10^{4}}{100}=1{,}1186\times10^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Somando g:
\frac{v_{\rm esc}}{t}+g\approx111{,}86+9{,}81\approx121{,}67\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Multiplicando por m:
F\approx10^{3}\times121{,}67\\ \mathrm{N}\approx1{,}22\times10^{5}\\ \mathrm{N}.
Interpretação e comentário prático: esse empuxo corresponde a uma aceleração líquida de cerca de 121{,}7\\ \mathrm{m/s^{2}}, ou aproximadamente 12{,}4\\ g (ou seja, 12{,}4 vezes a aceleração gravitacional). Isso é uma aceleração muito alta para cargas humanas e tecnicamente desafiante, mas matematicamente é o valor requerido sob as hipóteses feitas (massa constante, empuxo constante, sem arrasto atmosférico).

Passo 5

Resumo curto (para fixar):
  • Trabalho mínimo para levar 10^{3}\\ \mathrm{kg} da superfície ao infinito: W_{\min}=\dfrac{G M m}{R}\approx6{,}26\times10^{10}\\ \mathrm{J}.
  • Velocidade de escape (projétil, sem atrito): v_{\rm esc}=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}\approx1{,}12\times10^{4}\\ \mathrm{m/s} (≈ 11{,}2\\ \mathrm{km/s}).
  • Empuxo constante necessário para acelerar continuamente por 100\\ \mathrm{s} até v_{\rm esc} (massa constante): F\approx1{,}22\times10^{5}\\ \mathrm{N}.

Resposta

W_{\min}=6{,}26\times10^{10}\\ \mathrm{J}
v_{\rm esc}=1{,}12\times10^{4}\\ \mathrm{m/s} (≈ 11{,}2\\ \mathrm{km/s})
F=1{,}22\times10^{5}\\ \mathrm{N}

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