Calculate the reversible work required to separate a charge of +1 coulomb from a charge of -1 coulomb in vacuum from a distance of (b) 1 nm to infinite distance apart.

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e quais dados temos. O enunciado nos dá:
  • Uma carga q_1=+1\\ \mathrm{C}.
  • Uma carga q_2=-1\\ \mathrm{C}.
  • Distância inicial b=1\\ \mathrm{nm}=1\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
  • Meio: vácuo (permitividade \varepsilon_0).
    A pergunta: calcular o trabalho reversível necessário para separar as duas cargas de r=b até r=\infty.

Passo 2

Relembrando a lei de Coulomb e a energia potencial elétrica entre duas cargas puntiformes em vácuo.
  • A constante eletrostática (constante de Coulomb) é
k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}.
Aqui \varepsilon_0 é a permitividade do vácuo, cujo valor é \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F\,m^{-1}}. Substituindo, obtém-se numericamente
k\approx8{,}98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}\,C^{-2}}.
  • A energia potencial elétrica (energia potencial eletrostática) entre duas cargas puntuais separadas por uma distância r é dada por
U(r)=k\,\frac{q_1 q_2}{r}.
Expliquei: U(r) é a energia associada à posição relativa das cargas; se q_1 q_2<0 (cargas opostas) então U(r)<0.

Passo 3

Qual é o trabalho reversível que precisamos aplicar para separar as cargas de b até \infty?
  • Em um processo reversível e quasistático, sem variação de energia cinética, o trabalho realizado pelo agente externo W_{\text{ext}} é igual à variação da energia potencial:
W_{\text{ext}}=\Delta U=U(\infty)-U(b).
  • Como a energia potencial quando as cargas estão infinitamente separadas é zero, tem-se U(\infty)=0. Portanto
W_{\text{ext}}=0-U(b)=-U(b).

Passo 4

Usando a expressão de U(r):
U(b)=k\,\frac{q_1 q_2}{b}.
Logo
W_{\text{ext}}=-k\,\frac{q_1 q_2}{b}.
Agora substituímos os valores das cargas q_1=+1\\ \mathrm{C} e q_2=-1\\ \mathrm{C}. O produto é q_1 q_2=-1. Assim
W_{\text{ext}}=-k\,\frac{-1}{b}= \frac{k}{b}.
Observação física: o trabalho é positivo (ou seja, é necessário fornecer energia) porque as cargas opostas atraem; para vencê-las e levá-las ao infinito é preciso fazer trabalho.

Passo 5

Substituindo numericamente k e b:
k\approx8{,}98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}\,C^{-2}}, \qquad b=1\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
Assim
W_{\text{ext}}=\frac{k}{b}\approx\frac{8{,}98755179\times10^{9}}{1\times10^{-9}}=8{,}98755179\times10^{18}\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos):
W_{\text{ext}}\approx8{,}99\times10^{18}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Resumo do raciocínio: usar a energia potencial eletrostática U(r)=k q_1 q_2 / r, reconhecer que W_{\text{ext}}=\Delta U= -U(b) porque U(\infty)=0, e então calcular com q_1 q_2=-1 e b=1\\ \mathrm{nm}.

Resposta

W=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0\,b}=8{,}99\times10^{18}\\ \mathrm{J}

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