A kilogram of ethylene is compressed from 10^{-3} \mathrm{~m}^{3} to 10^{-4} \mathrm{~m}^{3} at a constant temperature of 300 K . Calculate the minimum work that must be expended, assuming that the gas is (a) ideal.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa.
  • Massa do etileno: 1\\ \mathrm{kg}.
  • Volume inicial: V_1 = 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Volume final: V_2 = 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Temperatura constante durante o processo: T = 300\\ \mathrm{K}.
O que se pede: calcular o trabalho mínimo que deve ser despendeido para comprimir o gás nessas condições, assumindo que o gás se comporta como ideal.
Informações adicionais que usamos (constantes e massas molares):
  • Átomo de carbono: massa atômica aproximada 12{,}011\\ \mathrm{g/mol}.
  • Átomo de hidrogênio: massa atômica aproximada 1{,}008\\ \mathrm{g/mol}.
  • Constante dos gases ideais: R = 8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.

Passo 2

Explicação física e fórmula a usar (passo-a-passo didático).
Quando comprimimos um gás isotermicamente de forma reversível, o trabalho realizado sobre o gás é o menor possível entre todos os processos que levam do mesmo estado inicial ao mesmo estado final. Por que? Porque qualquer irreversibilidade produzirá entropia e exigirá mais energia dissipada, ou seja, mais trabalho. Portanto, para encontrar o trabalho mínimo usamos o processo reversível e isoterma.
O trabalho realizado sobre o gás no processo reversível é dado pela integral do termo de pressão em função do volume. Para um gás ideal, a pressão do gás em cada volume V é dada pela equação de estado:
p(V)=\frac{nRT}{V},
onde
  • n é o número de mols do gás (que vamos calcular),
  • R é a constante universal dos gases,
  • T é a temperatura absoluta (constante aqui),
  • V é o volume.
O trabalho realizado sobre o gás (positivo se realizado sobre o sistema) ao comprimir de V_1 até V_2 é
W_{\min} = -\int_{V_1}^{V_2} p\,dV,
mas como estamos calculando o trabalho realizado sobre o gás e p=\dfrac{nRT}{V}, substituímos:
W_{\min} = -\int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V}\,dV.
Como n,R,T são constantes, a integral dá:
W_{\min} = -nRT \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V} = -nRT\left[\ln V\right]_{V_1}^{V_2} = -nRT\bigl(\ln V_2 - \ln V_1\bigr).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln V_2-\ln V_1=\ln\!\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right), obtemos
W_{\min} = -nRT\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = nRT\ln\!\left(\frac{V_1}{V_2}\right).
Portanto, a expressão prática que vamos usar é
W_{\min} = nRT\ln\!\left(\frac{V_1}{V_2}\right).
Nesta fórmula:
  • W_{\min} é o trabalho mínimo (em joules),
  • n é número de mols,
  • R é 8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}},
  • T é 300\\ \mathrm{K},
  • V_1 e V_2 são volumes inicial e final.

Passo 3

Calcular o número de mols n a partir da massa dada.
Massa molar do etileno \mathrm{C_2H_4}:
M = 2\times 12{,}011 + 4\times 1{,}008 = 28{,}054\\ \mathrm{g\;mol^{-1}} = 0{,}028054\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}.
Número de mols:
n=\frac{\text{massa}}{M}=\frac{1\\ \mathrm{kg}}{0{,}028054\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}}=35{,}6469\\ \mathrm{mol}.

Passo 4

Calcular nRT.
Primeiro calculo R\cdot T:
R\cdot T = 8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}\times 300\\ \mathrm{K}=2494{,}2\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Agora nRT:
nRT = 35{,}6469\\ \mathrm{mol}\times 2494{,}2\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}=88\,908{,}61\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular o logaritmo e o trabalho mínimo.
Razão dos volumes:
\frac{V_1}{V_2}=\frac{10^{-3}}{10^{-4}}=10.
Logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{V_1}{V_2}\right)=\ln(10)=2{,}302585093\ldots
Aplicando a fórmula:
W_{\min}=nRT\ln\!\left(\frac{V_1}{V_2}\right)=88\,908{,}61\\ \mathrm{J}\times 2{,}302585093\approx 204\,720{,}5\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Interpretação rápida e arredondamento final.
  • O valor obtido é o trabalho mínimo que deve ser fornecido (trabalho realizado sobre o gás), portanto positivo.
  • Em unidades mais usuais: 204\,720{,}5\\ \mathrm{J}\approx 204,7\\ \mathrm{kJ}.
  • Arredondando para três algarismos significativos, W_{\min}\approx 2,05\times 10^{5}\\ \mathrm{J}.

Resposta

W_{\min}=2{,}05\times10^{5}\\ \mathrm{J}

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