A kilogram of ethylene is compressed from
to
at a constant temperature of 300 K . Calculate the minimum work that must be expended, assuming that the gas is (a) ideal.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa.
- Massa do etileno:
. - Volume inicial:
. - Volume final:
. - Temperatura constante durante o processo:
.
O que se pede: calcular o trabalho mínimo que deve ser despendeido para comprimir o gás nessas condições, assumindo que o gás se comporta como ideal.
Informações adicionais que usamos (constantes e massas molares):
- Átomo de carbono: massa atômica aproximada
. - Átomo de hidrogênio: massa atômica aproximada
. - Constante dos gases ideais:
.
Passo 2
Explicação física e fórmula a usar (passo-a-passo didático).
Quando comprimimos um gás isotermicamente de forma reversível, o trabalho realizado sobre o gás é o menor possível entre todos os processos que levam do mesmo estado inicial ao mesmo estado final. Por que? Porque qualquer irreversibilidade produzirá entropia e exigirá mais energia dissipada, ou seja, mais trabalho. Portanto, para encontrar o trabalho mínimo usamos o processo reversível e isoterma.
O trabalho realizado sobre o gás no processo reversível é dado pela integral do termo de pressão em função do volume. Para um gás ideal, a pressão do gás em cada volume
é dada pela equação de estado:
onde
-
é o número de mols do gás (que vamos calcular), -
é a constante universal dos gases, -
é a temperatura absoluta (constante aqui), -
é o volume.
O trabalho realizado sobre o gás (positivo se realizado sobre o sistema) ao comprimir de
até
é
mas como estamos calculando o trabalho realizado sobre o gás e
, substituímos:
Como
são constantes, a integral dá:
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos
Portanto, a expressão prática que vamos usar é
Nesta fórmula:
-
é o trabalho mínimo (em joules), -
é número de mols, -
é , -
é , -
e são volumes inicial e final.
Passo 3
Calcular o número de mols
a partir da massa dada.
Massa molar do etileno
:
Número de mols:
Passo 4
Calcular
.
Primeiro calculo
:
Agora
:
Passo 5
Calcular o logaritmo e o trabalho mínimo.
Razão dos volumes:
Logaritmo natural:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Interpretação rápida e arredondamento final.
- O valor obtido é o trabalho mínimo que deve ser fornecido (trabalho realizado sobre o gás), portanto positivo.
- Em unidades mais usuais:
. - Arredondando para três algarismos significativos,
.