Calculate the reversible work required to separate a charge of +1 coulomb from a charge of -1 coulomb in vacuum from a distance of (a) 1 mm to infinite distance apart.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho reversível necessário para separar duas cargas pontuais em vácuo: uma carga +1\\ \mathrm{C} e outra -1\\ \mathrm{C}, indo de uma separação inicial de 1\\ \mathrm{mm} até separá-las a uma distância infinita. Dados importantes fornecidos:
  • q_1 = +1\\ \mathrm{C}.
  • q_2 = -1\\ \mathrm{C}.
  • Separação inicial r_i = 1\\ \mathrm{mm} = 1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Separação final r_f = \infty.
    A tarefa: calcular o trabalho reversível (isto é, o trabalho realizado por um agente externo que afasta as cargas de forma quasistática, sem variação de energia cinética) para levar o sistema de r_i até r_f.

Passo 2

Conceito físico usado (explicando com calma): duas cargas elétricas interagem pela força de Coulomb. A energia potencial eletrostática de um par de cargas pontuais numa separação r (escolhendo U(\infty)=0) é dada pela fórmula padrão
U(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_1 q_2}{r},
onde:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}),
  • a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante de Coulomb ( k\approx8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}),
  • q_1 e q_2 são as cargas,
  • r é a separação entre elas.
    Explicação da origem dessa fórmula (passo didático): pode-se obter U(r) integrando a força elétrica desde a separação atual até o infinito. A força de campo entre duas cargas é
F(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r^2}.
Tomando a convenção U(\infty)=0, a energia potencial em r é
U(r)-U(\infty) = -\int_{\infty}^{r} F(r')\,\mathrm{d}r' = -\int_{\infty}^{r} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r'^2}\,\mathrm{d}r'.
Fazendo a integral:
U(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r}.
Observação de sinal: se q_1 q_2<0 (cargas de sinais opostos) então U(r)<0; separar as cargas até infinito (onde U=0) requer trabalho positivo do agente externo igual a 0-U(r)=-U(r).

Passo 3

Aplicando ao caso: com q_1=+1\\ \mathrm{C} e q_2=-1\\ \mathrm{C} temos q_1 q_2 = -1\\ \mathrm{C}^2. A energia potencial inicial é
U_i = U(r_i)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r_i} = \frac{k\cdot(-1)}{r_i} = -\frac{k}{r_i}.
A energia potencial final em r_f=\infty é
U_f = U(\infty)=0.
Para um processo reversível (quasistático) sem mudança de energia cinética, o trabalho realizado pelo agente externo é a variação da energia potencial:
W = U_f - U_i = 0 - \left(-\frac{k}{r_i}\right) = \frac{k}{r_i}.

Passo 4

Agora substituímos valores numéricos. Usando k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2} e r_i=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
W = \frac{k}{r_i} \approx \frac{8{,}9875517923\times10^{9}}{1\times10^{-3}} = 8{,}9875517923\times10^{12}\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma conveniente,
W \approx 8{,}99\times10^{12}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Interpretação rápida (sem exagerar): esse valor é gigantesco — para comparar, 1 quiloton de TNT é aproximadamente 4{,}184\times10^{12}\\ \mathrm{J}, então o trabalho calculado equivale a cerca de 2{,}15 quilotons de TNT. Isso mostra que separar cargas de 1\\ \mathrm{C} tão perto é energeticamente tremendo; em situações reais não se manuseiam cargas tão grandes tão próximas sem fenômenos extremos.

Resposta

W \approx 8{,}99\times10^{12}\\ \mathrm{J}

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