Calculate the quantity dlang<=Hrang<= / d t for a particle whose Hamiltonian operator is given by H=PX^2 /(2 m)+12 m omega X^2+V0 X^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a derivada temporal da expectativa da Hamiltoniana, ou seja, $ \frac{d\langle \hat{H} \rangle}{dt} $, para uma partícula cuja operator Hamiltoniana é dada por:
dlang<= H rang<=dt
Aqui, estamos lidando com a mecânica quântica, especificamente com operadores de posição ($ \hat{X} H = PX^22m + 12 m omega X^2 + V0 X^3 \hat{P}_{X} $). Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Heisenberg para a evolução temporal dos operadores e as regras de comutação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição da expectativa de um operador $ \hat{A} $:
A
A derivada temporal dessa expectativa é dada por:
lang<= A rang<= = lang<= psi | A | psi rang<=
No nosso caso, $ \hat{A} = \hat{H} $. Então, precisamos calcular $ \frac{d\langle \hat{H} \rangle}{dt} $.

Passo 3

Aplicando a fórmula acima para $ \hat{A} = \hat{H} $:
A = H
Mas, o comutador de qualquer operador com ele mesmo é zero, ou seja, $ [\hat{H}, \hat{H}] = 0 $. Além disso, a Hamiltoniana $ \hat{H} $ não depende explicitamente do tempo, então $ \frac{\partial \hat{H}}{\partial t} = 0 $.

Passo 4

Isso significa que:
dlang<= H rang<=dt = 0 + 0 = 0
Então, a derivada temporal da expectativa da Hamiltoniana é zero.

Resposta

A derivada temporal da expectativa de $ \hat{H} $ é zero, ou seja:
H
Isso indica que a energia esperada do sistema é conservada ao longo do tempo.

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