Calculate the quantity
for a particle whose Hamiltonian operator is given by
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a derivada temporal da expectativa da Hamiltoniana, ou seja, $ \frac{d\langle \hat{H} \rangle}{dt} $, para uma partícula cuja operator Hamiltoniana é dada por:
Aqui, estamos lidando com a mecânica quântica, especificamente com operadores de posição ($ \hat{X}
\hat{P}_{X} $). Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Heisenberg para a evolução temporal dos operadores e as regras de comutação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição da expectativa de um operador $ \hat{A} $:
A derivada temporal dessa expectativa é dada por:
No nosso caso, $ \hat{A} = \hat{H} $. Então, precisamos calcular $ \frac{d\langle \hat{H} \rangle}{dt} $.
Passo 3
Aplicando a fórmula acima para $ \hat{A} = \hat{H} $:
Mas, o comutador de qualquer operador com ele mesmo é zero, ou seja, $ [\hat{H}, \hat{H}] = 0 $. Além disso, a Hamiltoniana $ \hat{H} $ não depende explicitamente do tempo, então $ \frac{\partial \hat{H}}{\partial t} = 0 $.
Passo 4
Isso significa que:
Então, a derivada temporal da expectativa da Hamiltoniana é zero.
Resposta
A derivada temporal da expectativa de $ \hat{H} $ é zero, ou seja:
Isso indica que a energia esperada do sistema é conservada ao longo do tempo.