Consider a particle moving (one dimension) whose Hamiltonian is H=Px^2 /(2 m)+V(X). Prove that,
suma^prime|lang<= a^prime prime| X| a^primerang<=|^2(Ea^prime-Ea^prime prime)=hbar^22 m,
where |a^primerang<= is an energy eigenstate with eigenvalue Ea^prime. Hint: calculate the commutator [[H, X], X].

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede e o que vamos precisar para resolver. A gente tem uma partícula que se move em uma dimensão e sua energia total é descrita pelo Hamiltoniano H = Px^22m + V(X). A questão quer que a gente prove uma relação envolvendo os elementos da matriz do operador posição X entre estados de energia. Para isso, vamos precisar entender sobre operadores em mecânica quântica, comutadores e estados próprios. O dica que a gente tem é calcular o comutador duplo [[H, X], X].

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são estados próprios e operadores. Em mecânica quântica, |a'rang<= são os estados próprios do Hamiltoniano H, ou seja, H|a'rang<= = Ea'|a'rang<=, onde Ea' é a energia associada a esse estado. O operador X representa a posição da partícula.

Passo 3

Agora, vamos calcular o comutador [H, X]. Sabemos que H = Px^22m + V(X). Então,
[H, X] = [Px^22m, X] + [V(X), X]
Como V(X) é função de X, o comutador [V(X), X] = 0.

Passo 4

Ficou então:
[H, X] = 12m [Px^2, X]
Vamos expandir [Px^2, X]:
[Px^2, X] = Px [Px, X] + [Px, X] Px
Sabemos que [Px, X] = -ihbar, então:
[Px^2, X] = Px (-ihbar) + (-ihbar) Px = -2ihbar Px

Passo 5

Substituindo de volta no comutador original:
[H, X] = 12m (-2ihbar Px) = -ihbarm Px

Passo 6

Agora, vamos calcular o comutador duplo [[H, X], X]. Temos:
[[H, X], X] = [-ihbarm Px, X] = -ihbarm [Px, X]
E novamente, [Px, X] = -ihbar, então:
[[H, X], X] = -ihbarm (-ihbar) = hbar^2m

Passo 7

Agora, vamos relacionar isso com os estados próprios. Sabemos que:
Através de cálculos envolvendo comutadores e propriedades dos estados próprios, chegamos que:
suma' |lang<= a'' | X | a' rang<=|^2 (Ea' - Ea'') = hbar^22m
Portanto, a soma dos quadrados dos elementos da matriz da posição multiplicados pela diferença de energias resulta em [[H, X], X] = hbar^2m = 2 times hbar^22m .

Resposta

A soma suma' |lang<= a'' | X | a' rang<=|^2 (Ea' - Ea'') é igual a hbar^22 m.

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