It is sometimes necessary to correct weighings to allow for the buoyancy effect of air. Suppose you use brass weights (density \rho=8.40 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~cm}^{-3} ) to weigh 10.0000 g aluminum in air at 25^{\circ} \mathrm{C} and 1 atm . What is the in vacuo weight?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado diz que se usa pesos de latão com densidade \rho_{\text{latão}} = 8{,}40\\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}ã.
  • Foi pesado alumínio e o valor indicado usando esses pesos (na balança, em ar) foi 10{,}0000\\ \mathrm{g}.
  • O enunciado pede: qual é o peso do alumínio em vácuo (isto é, a massa verdadeira, sem a correção de empuxo do ar)?
Informações adicionais que vou usar (valores padrão):
  • densidade do alumínio \rho_{\text{Al}} = 2{,}70\\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}} (valor típico à temperatura ambiente);
  • densidade do ar a 25^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}: \rho_{\text{ar}} = 0{,}001184\\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}} (valor padrão aproximado).
Nenhuma outra informação é necessária: a leitura de 10{,}0000\\ \mathrm{g} corresponde ao conjunto de pesos de latão cuja massa verdadeira é 10{,}0000\\ \mathrm{g}.

Passo 2

Entendendo o efeito do empuxo (aula curta e didática).
Quando um corpo de massa verdadeira m e densidade \rho fica imerso no ar de densidade \rho_{\text{ar}}, o empuxo reduz a força peso aparente. Para uma balança que compara dois corpos (o objeto e os pesos), a igualdade de equilíbrio em ar é escrita em termos das massas multiplicadas pelos fatores de correção de empuxo.
Explicando a física por trás, em linguagem simples:
  • A massa verdadeira de um corpo é m.
  • O volume do corpo é V = m/\rho.
  • O empuxo (força para cima) é igual ao peso do ar deslocado, que em unidades de massa efetiva corresponde a uma massa \rho_{\text{ar}}V.
  • Assim, a massa aparente (a “massa que a balança sente”) é m - \rho_{\text{ar}}V = m\bigl(1 - \dfrac{\rho_{\text{ar}}}{\rho}\bigr).
Agora, aplicando isso à comparação na balança entre o alumínio (massa verdadeira m_{\text{Al}}) e os pesos de latão (massa verdadeira conhecida m_{\text{latão}}=10{,}0000\\ \mathrm{g}ã), em equilíbrio temos:
m_{\text{Al}}\Bigl(1 - \dfrac{\rho_{\text{ar}}}{\rho_{\text{Al}}}\Bigr) = m_{\text{latão}}\Bigl(1 - \dfrac{\rho_{\text{ar}}}{\rho_{\text{latão}}}\Bigr).ãã
Nesta equação:
  • m_{\text{Al}} é a massa verdadeira do alumínio (o que queremos);
  • m_{\text{latão}}=10{,}0000\\ \mathrm{g}ã é a massa verdadeira dos pesos de latão (o valor indicado);
  • \rho_{\text{ar}}, \rho_{\text{Al}}, \rho_{\text{latão}}ã são as densidades do ar, do alumínio e do latão, respectivamente.
Isolando m_{\text{Al}} obtemos a fórmula de correção:
m_{\text{Al}} = m_{\text{latão}} \cdot \frac{1 - \dfrac{\rho_{\text{ar}}}{\rho_{\text{latão}}}} {1 - \dfrac{\rho_{\text{ar}}}{\rho_{\text{Al}}}}.ãã

Passo 3

Agora vamos substituir os valores numéricos, mostrando cada passo de conta.
Escrever os valores em símbolos primeiro:
m_{\text{latão}} = 10{,}0000\\ \mathrm{g}, \quad \rho_{\text{latão}} = 8{,}40\\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}, \quad \rho_{\text{Al}} = 2{,}70\\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}, \quad \rho_{\text{ar}} = 0{,}001184\\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}.ãã
Calcular o numerador da fração:
1 - \dfrac{\rho_{\text{ar}}}{\rho_{\text{latão}}} = 1 - \dfrac{0{,}001184}{8{,}40}.ã
Fazendo a divisão:
\dfrac{0{,}001184}{8{,}40} = 0{,}0001410\\ (\text{aprox.}),
portanto
1 - \dfrac{\rho_{\text{ar}}}{\rho_{\text{latão}}} \approx 0{,}9998590.ã
Calcular o denominador da fração:
1 - \dfrac{\rho_{\text{ar}}}{\rho_{\text{Al}}} = 1 - \dfrac{0{,}001184}{2{,}70}.
Fazendo a divisão:
\dfrac{0{,}001184}{2{,}70} = 0{,}0004385\\ (\text{aprox.}),
portanto
1 - \dfrac{\rho_{\text{ar}}}{\rho_{\text{Al}}} \approx 0{,}9995615.
Agora a razão:
\frac{1 - \dfrac{\rho_{\text{ar}}}{\rho_{\text{latão}}}} {1 - \dfrac{\rho_{\text{ar}}}{\rho_{\text{Al}}}} \approx \frac{0{,}9998590}{0{,}9995615}.ã
Dividindo:
\frac{0{,}9998590}{0{,}9995615} \approx 1{,}0002976.

Passo 4

Multiplicando pelo valor nominal dos pesos:
m_{\text{Al}} = 10{,}0000\\ \mathrm{g} \times 1{,}0002976 \approx 10{,}002976\\ \mathrm{g}.
Arredondando de acordo com os algarismos significativos da leitura (a leitura tinha cinco casas decimais), apresentamos a massa em vácuo como
m_{\text{Al}} \approx 10{,}0030\\ \mathrm{g}.
Força final de incentivo: esse ajuste é pequeno (algumas miligramas), mas em medições precisas ele importa — bom que você conferiu!

Resposta

10{,}0030 g

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