Calculate the work done on the surroundings when one mole of water (a) freezes at 0^{\circ} \mathrm{C}; (b) boils at 100^{\circ} \mathrm{C}. Compare these values with the corresponding latent heats.

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos (pressupostos explícitos).
  • Pede: calcular o trabalho feito sobre as vizinhanças (work done on the surroundings) quando uma mol de água (a) congela a 0^{\circ}\mathrm{C} e (b) ferve a 100^{\circ}\mathrm{C}; e comparar esses valores com os calores latentes correspondentes.
  • Informação implícita usada: as mudanças de fase ocorrem à pressão padrão de uma atmosfera (ponto de fusão/ebulição normais). Vou assumir P=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Dados que usarei:
    • Massa molar da água: M=0{,}01801528\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}.
    • Densidade da água líquida a 0^{\circ}\mathrm{C}: \rho_{\ell}\approx1000\\ \mathrm{kg\;m^{-3}} (aproximação usual).
    • Densidade do gelo a 0^{\circ}\mathrm{C}: \rho_{s}\approx917\\ \mathrm{kg\;m^{-3}}.
    • Constante dos gases ideais: R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
    • Temperatura de ebulição: T=100^{\circ}\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Calor latente de fusão (água, 0^{\circ}\mathrm{C}): \Delta H_{\mathrm{fus}}\approx6{,}01\times10^{3}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
    • Calor latente de vaporização (água, 100^{\circ}\mathrm{C}): \Delta H_{\mathrm{vap}}\approx4{,}065\times10^{4}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
  • Observação sobre o que significa “trabalho feito sobre as vizinhanças”: é a energia transferida por expansão contra a pressão externa. Se o sistema aumenta de volume, ele realiza trabalho sobre as vizinhanças (positivo para as vizinhanças).

Passo 2

Fórmula fundamental para trabalho de expansão à pressão constante e explicação de sinais.
  • Em termodinâmica, o trabalho de pressão (trabalho de expansão) efetuado pelo sistema é
w_{\text{sys}}=-\int_{V_i}^{V_f}P_{\text{ext}}\,\mathrm{d}V.
Aqui P_{\text{ext}} é a pressão externa (aqui usaremos P_{\text{ext}}=P constante), V_i e V_f são volumes inicial e final do sistema.
  • Para processo isobárico (pressão constante),
w_{\text{sys}}=-P\,(V_f-V_i)=-P\,\Delta V.
  • O enunciado quer o trabalho “feito sobre as vizinhanças”. Isso é o negativo de w_{\text{sys}}. Logo,
W_{\text{sobre vizinhanças}}=-w_{\text{sys}}=P\,(V_f-V_i)=P\,\Delta V.ç
  • Resumo prático: para calcular o trabalho entregue ao ambiente basta multiplicar a pressão por \Delta V (com \Delta V=V_{\text{final}}-V_{\text{inicial}}), tomando cuidado com unidades (SI).

Passo 3

Cálculo do trabalho quando 1 mol de água congela a 0^{\circ}\mathrm{C}.
  • Determinar volumes molares do líquido e do sólido usando V=\dfrac{M}{\rho}.
  • Volume molar da água líquida:
V_{\ell}=\frac{M}{\rho_{\ell}}=\frac{0{,}01801528\\ \mathrm{kg}}{1000\\ \mathrm{kg\;m^{-3}}}=1{,}801528\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Volume molar do gelo:
V_{s}=\frac{M}{\rho_{s}}=\frac{0{,}01801528\\ \mathrm{kg}}{917\\ \mathrm{kg\;m^{-3}}}=1{,}96406\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}.
(foi usado \rho_{s}=917\\ \mathrm{kg\;m^{-3}} — valor padrão para gelo a 0^{\circ}\mathrm{C}).
  • Mudança de volume ao congelar (líquido \to sólido):
\Delta V=V_{f}-V_{i}=V_{s}-V_{\ell}=1{,}96406\times10^{-5}-1{,}801528\times10^{-5}=1{,}62532\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Trabalho feito sobre as vizinhanças:
W_{(\text{congelamento})}=P\,\Delta V=(1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa})\times(1{,}62532\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}).
  • Multiplicando:
W_{(\text{congelamento})}=0{,}1647\\ \mathrm{J}\quad(\text{aprox.}).
  • Interpretação rápida: ao congelar, a água aumenta de volume (expansão pequena), portanto realiza um trabalho muito pequeno sobre o ambiente, cerca de 0{,}16\\ \mathrm{J} por mol.

Passo 4

Comparação do trabalho do congelamento com o calor latente de fusão.
  • Calor latente de fusão utilizado: \Delta H_{\mathrm{fus}}\approx6{,}01\times10^{3}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
  • Fração do calor latente correspondente ao trabalho:
\frac{W_{(\text{congelamento})}}{\Delta H_{\mathrm{fus}}}=\frac{0{,}1647}{6{,}01\times10^{3}}=2{,}74\times10^{-5}.
  • Em percentagem:
\approx0{,}00274\\ \%\!.
  • Conclusão: o trabalho é desprezivelmente pequeno comparado ao calor latente de fusão.

Passo 5

Cálculo do trabalho quando 1 mol de água ferve a 100^{\circ}\mathrm{C}.
  • Aqui o vapor pode ser tratado como gás ideal a 100^{\circ}\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}. Pelo gás ideal,
V_{g}=\frac{R\,T}{P}.
  • Calculemos V_g:
V_{g}=\frac{8{,}314462618\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}\times373{,}15\\ \mathrm{K}}{1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}}=3{,}0623\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{3}}.
(ou seja cerca de 0{,}03062\\ \mathrm{m^{3}}=30{,}62\\ \mathrm{L}).
  • Volume inicial (líquido) usamos V_{\ell}=1{,}801528\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}} do Passo 3.
  • Mudança de volume na vaporização:
\Delta V=V_{g}-V_{\ell}=0{,}030623-1{,}801528\times10^{-5}=0{,}030605\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Trabalho feito sobre as vizinhanças:
W_{(\text{vaporização})}=P\,\Delta V=(1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa})\times(0{,}030605\\ \mathrm{m^{3}}).çã
  • Multiplicando:
W_{(\text{vaporização})}=3{,}1009\times10^{3}\\ \mathrm{J}\approx3{,}101\\ \mathrm{kJ}.çã

Passo 6

Comparação do trabalho da vaporização com o calor latente de vaporização.
  • Calor latente usado: \Delta H_{\mathrm{vap}}\approx4{,}065\times10^{4}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
  • Fração:
\frac{W_{(\text{vaporização})}}{\Delta H_{\mathrm{vap}}}=\frac{3{,}1009\times10^{3}}{4{,}065\times10^{4}}=0{,}07629\ldotsçã
  • Em percentagem:
\approx7{,}63\\ \%\!.
  • Interpretação: o trabalho de expansão durante a vaporização é da ordem de alguns \mathrm{kJ} por mol e corresponde a aproximadamente 7{,}6\% do calor latente de vaporização — não negligenciável, mas menor que a maior parte da energia necessária que vai em levantar a água ao estado gasoso (entalpia de vaporização).

Resposta

(a) W_{\text{sobre vizinhanças}}=0{,}1647\\ \mathrm{J}ç. Isso é aproximadamente 0{,}00274\\ \% do \Delta H_{\mathrm{fus}}=6{,}01\times10^{3}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
(b) W_{\text{sobre vizinhanças}}=3{,}1009\times10^{3}\\ \mathrm{J}\\ (=3{,}101\\ \mathrm{kJ})ç. Isso é aproximadamente 7{,}63\\ \% do \Delta H_{\mathrm{vap}}=4{,}065\times10^{4}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.

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