The coefficient of thermal expansion of ethanol is given by
\alpha=1.0414 \times 10^{-3}+1.5672 \times 10^{-6} \theta+5.148 \times 10^{-8} \theta^{2}
where \theta is the centigrade temperature. If 0^{\circ} and 50^{\circ} are taken as fixed points on a centigrade scale, what will be the reading of an ethanol thermometer when an idealgas thermometer reads 30^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado dá a variação do coeficiente de expansão térmica do etanol em função da temperatura centígrada. Os dados e o que se pede são:
  • Coeficiente de expansão volumétrica do etanol (função da temperatura \theta):
\alpha(\theta)=1,0414\times10^{-3}+1,5672\times10^{-6}\,\theta+5,148\times10^{-8}\,\theta^{2}.
  • A escala centígrada é fixada por 0^\circ e 50^\circ (ou seja, o termômetro de etanol é calibrado para marcar 0 em 0^\circC e 50 em 50^\circC do termômetro ideal).
  • Pergunta: qual será a leitura do termômetro de etanol quando um termômetro a gás ideal lê 30^\circC?
Vou usar explicitamente os números dados do enunciado e não assumir nada além disso.

Passo 2

Entender a física / a relação entre volume e temperatura para líquidos: para um líquido cuja expansividade volumétrica é \alpha(\theta), uma variação infinitesimal de temperatura \mathrm{d}\theta produz uma variação relativa de volume
\frac{\mathrm{d}V}{V}=\alpha(\theta)\,\mathrm{d}\theta.
Isto é uma equação diferencial simples de primeira ordem que podemos integrar para obter a relação entre o volume V(\theta) a uma temperatura \theta e o volume de referência V(0):
V(\theta)=V(0)\,\exp\!\bigg(\int_{0}^{\theta}\alpha(t)\,\mathrm{d}t\bigg).
Explicando em palavras: a expansão acumulada entre 0 e \theta é o exponencial da integral de \alpha. Para líquidos \alpha é pequeno, mas usar a forma exponencial é correta e depois podemos usar aproximações numéricas controladas.

Passo 3

Como o termômetro de etanol foi calibrado usando 0^\circ e 50^\circ, a leitura \theta_{\mathrm{eth}} do termômetro de etanol corresponde à fração da expansão total entre 0 e 50^\circ que ocorreu até a expansão até a temperatura verdadeira \theta. Ou seja:
\theta_{\mathrm{eth}}=50\cdot\frac{V(\theta)-V(0)}{V(50)-V(0)}.
Substituindo a forma exponencial de V,
\theta_{\mathrm{eth}}=50\cdot\frac{\exp\!\left(\displaystyle\int_{0}^{\theta}\alpha(t)\,\mathrm{d}t\right)-1}{\exp\!\left(\displaystyle\int_{0}^{50}\alpha(t)\,\mathrm{d}t\right)-1}.
Assim, o problema reduz-se a calcular as integrais \displaystyle\int_{0}^{\theta}\alpha(t)\,\mathrm{d}t para \theta=30 e \theta=50.

Passo 4

Calcular explicitamente a integral de \alpha(t). Integrando termo a termo:
\int_{0}^{\theta}\alpha(t)\,\mathrm{d}t =\int_{0}^{\theta}\!\Big(1,0414\times10^{-3}+1,5672\times10^{-6}t+5,148\times10^{-8}t^{2}\Big)\mathrm{d}t.
Fazendo a integral:
\int_{0}^{\theta}\alpha(t)\,\mathrm{d}t =1,0414\times10^{-3}\,\theta+\frac{1,5672\times10^{-6}}{2}\,\theta^{2}+\frac{5,148\times10^{-8}}{3}\,\theta^{3}.
Para simplificar a escrita, defino
I(\theta)=1,0414\times10^{-3}\,\theta+7,836\times10^{-7}\,\theta^{2}+1,716\times10^{-8}\,\theta^{3},
onde os coeficientes são obtidos por divisão (por exemplo 7,836\times10^{-7}=1,5672\times10^{-6}/2 e 1,716\times10^{-8}=5,148\times10^{-8}/3).

Passo 5

Calcular I(30) passo a passo (peguei os coeficientes da expressão anterior):
\begin{aligned} I(30)&=1,0414\times10^{-3}\cdot30+7,836\times10^{-7}\cdot30^{2}+1,716\times10^{-8}\cdot30^{3}\\[4pt] &=0,031242+7,836\times10^{-7}\cdot900+1,716\times10^{-8}\cdot27000\\[4pt] &=0,031242+0,00070524+0,00046332\\[4pt] &=0,03241056. \end{aligned}]

Passo 6

Calcular I(50) passo a passo:
\begin{aligned} I(50)&=1,0414\times10^{-3}\cdot50+7,836\times10^{-7}\cdot50^{2}+1,716\times10^{-8}\cdot50^{3}\\[4pt] &=0,05207+7,836\times10^{-7}\cdot2500+1,716\times10^{-8}\cdot125000\\[4pt] &=0,05207+0,001959+0,002145\\[4pt] &=0,056174. \end{aligned}]

Passo 7

Calcular \exp(I(30))\!-\!1 e \exp(I(50))\!-\!1. Como I(30) e I(50) são pequenos (alguns centésimos), é preciso apenas algumas parcelas da série exponencial para obter precisão suficiente:
\exp(x)-1=x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\cdots
Aplicando para x=I(30)=0,03241056:
\exp(I(30))-1\approx0,03241056+\frac{(0,03241056)^{2}}{2}+\frac{(0,03241056)^{3}}{6}=0,03294082\\ \text{(aprox.)}.
Aplicando para x=I(50)=0,056174:
\exp(I(50))-1\approx0,056174+\frac{(0,056174)^{2}}{2}+\frac{(0,056174)^{3}}{6}=0,0577814\\ \text{(aprox.)}.
(obs.: os termos de ordem superior são desprezíveis em relação à precisão que precisamos).

Passo 8

Agora obtemos a leitura do termômetro de etanol usando a fórmula do Passo 3:
\theta_{\mathrm{eth}}=50\cdot\frac{\exp(I(30))-1}{\exp(I(50))-1} \approx50\cdot\frac{0,03294082}{0,0577814}.
Fazendo a divisão com cuidado:
\frac{0,03294082}{0,0577814}\approx0,5700938,
portanto
\theta_{\mathrm{eth}}\approx50\times0,5700938=28,50469\\ (\text{em }^\circ\mathrm{C}).

Passo 9

Interpretação rápida: o termômetro de etanol, por causa da dependência não-linear de \alpha com a temperatura, não é “exatamente” linear entre 0 e 50, por isso quando o termômetro ideal marca 30^\circC o etanol marca cerca de 28{,}50^\circC — ou seja, indica um pouco menos (subestima) a temperatura verdadeira nesse ponto.

Resposta

28,50^\circ\mathrm{C}

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