The coefficient of thermal expansion of ethanol is given by
where
is the centigrade temperature. If
and
are taken as fixed points on a centigrade scale, what will be the reading of an ethanol thermometer when an idealgas thermometer reads
?
Passo 1
O enunciado dá a variação do coeficiente de expansão térmica do etanol em função da temperatura centígrada. Os dados e o que se pede são:
- Coeficiente de expansão volumétrica do etanol (função da temperatura
):
- A escala centígrada é fixada por
e (ou seja, o termômetro de etanol é calibrado para marcar em C e em C do termômetro ideal). - Pergunta: qual será a leitura do termômetro de etanol quando um termômetro a gás ideal lê
C?
Vou usar explicitamente os números dados do enunciado e não assumir nada além disso.
Passo 2
Entender a física / a relação entre volume e temperatura para líquidos: para um líquido cuja expansividade volumétrica é
, uma variação infinitesimal de temperatura
produz uma variação relativa de volume
Isto é uma equação diferencial simples de primeira ordem que podemos integrar para obter a relação entre o volume
a uma temperatura
e o volume de referência
:
Explicando em palavras: a expansão acumulada entre
e
é o exponencial da integral de
. Para líquidos
é pequeno, mas usar a forma exponencial é correta e depois podemos usar aproximações numéricas controladas.
Passo 3
Como o termômetro de etanol foi calibrado usando
e
, a leitura
do termômetro de etanol corresponde à fração da expansão total entre
e
que ocorreu até a expansão até a temperatura verdadeira
. Ou seja:
Substituindo a forma exponencial de
,
Assim, o problema reduz-se a calcular as integrais
para
e
.
Passo 4
Calcular explicitamente a integral de
. Integrando termo a termo:
Fazendo a integral:
Para simplificar a escrita, defino
onde os coeficientes são obtidos por divisão (por exemplo
e
).
Passo 5
Calcular
passo a passo (peguei os coeficientes da expressão anterior):
Passo 6
Calcular
passo a passo:
Passo 7
Calcular
e
. Como
e
são pequenos (alguns centésimos), é preciso apenas algumas parcelas da série exponencial para obter precisão suficiente:
Aplicando para
:
Aplicando para
:
(obs.: os termos de ordem superior são desprezíveis em relação à precisão que precisamos).
Passo 8
Agora obtemos a leitura do termômetro de etanol usando a fórmula do Passo 3:
Fazendo a divisão com cuidado:
portanto
Passo 9
Interpretação rápida: o termômetro de etanol, por causa da dependência não-linear de
com a temperatura, não é “exatamente” linear entre 0 e 50, por isso quando o termômetro ideal marca
C o etanol marca cerca de
C — ou seja, indica um pouco menos (subestima) a temperatura verdadeira nesse ponto.