Calculator active problem. Let f be the function with f(1)=e, f(4)=\frac{1}{e}, and derivative given by f^{\prime}(x)= (x-1) \sin (e x). How many values of x in the open interval (1,4) satisfy the conclusion of the Mean Value Theorem for the function f on the closed interval [1,4] ?
(A) None
(B) One
(C) Two
(D) More than two

Passo 1

Dados do enunciado:
f(1)=e,\quad f(4)=\frac{1}{e},\quad f'(x)=(x-1)\sin(e x).
O que a questão pede: quantos valores de x em (1,4) satisfazem a conclusão do Teorema do Valor Médio (TVM) para f em [1,4]. Em termos práticos, queremos contar as soluções em (1,4) da igualdade
f'\text{(c)}=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}.

Passo 2

Calculo a razão de variação média (a inclinação da reta secante):
\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{\frac{1}{e}-e}{3}=\frac{1-e^2}{3e}.
Note que e>1, logo 1/e<e e a diferença \frac{1}{e}-e é negativa. Assim a razão média é um número negativo. Vou chamar esse valor de s_0:
s_0:=\frac{1-e^2}{3e}.
Para ter uma ideia numérica (só para comparar depois):
e\approx 2,71828\quad\Rightarrow\quad s_0\approx -0,7835.

Passo 3

A igualdade do TVM vira a equação para c:
(x-1)\sin(e x)=s_0.
Observação importante: em (1,4) tem-se (x-1)>0. Como s_0<0, a igualdade só pode ocorrer quando \sin(e x)<0. Ou seja, só nos intervalos onde o seno é negativo.

Passo 4

Encontro os zeros de \sin(e x) em (1,4). Zeros ocorrem quando e x=k\pi, isto é
x=\frac{k\pi}{e}.
Procuro inteiros k tais que 1<\frac{k\pi}{e}<4. Como
\frac{e}{\pi}\approx 0,866\quad\text{e}\quad\frac{4e}{\pi}\approx 3,462,
os valores inteiros possíveis são k=1,2,3. Portanto os zeros em (1,4) são
x=\frac{\pi}{e}\approx 1,155,\quad x=\frac{2\pi}{e}\approx 2,310,\quad x=\frac{3\pi}{e}\approx 3,466.
Isso divide (1,4) em quatro meios-ondas de seno, com sinais alternados. Determino os sinais:
  • em (1,\pi/e) temos \sin(e x)>0;
  • em (\pi/e,2\pi/e) temos \sin(e x)<0;
  • em (2\pi/e,3\pi/e) temos \sin(e x)>0;
  • em (3\pi/e,4) temos \sin(e x)<0.
Como lembrado no Passo 3, só podem ocorrer soluções nos intervalos onde \sin(e x)<0, isto é em (\pi/e,2\pi/e) e em (3\pi/e,4).

Passo 5

Analiso o intervalo negativo mais à esquerda \left(\frac{\pi}{e},\frac{2\pi}{e}\right).
Dentro desta meia-onda o seno atinge o mínimo -1 em x=\frac{3\pi}{2e} (pois aí e x=\tfrac{3\pi}{2}). O menor valor possível de (x-1)\sin(e x) nessa meia-onda é, portanto,
\Bigl(\frac{3\pi}{2e}-1\Bigr)\cdot(-1)=1-\frac{3\pi}{2e}.
Faço a aproximação numérica para comparar com s_0:
\frac{3\pi}{2e}\approx 1,734\quad\Rightarrow\quad 1-\frac{3\pi}{2e}\approx -0,734.
Mas lembrando s_0\approx -0,7835. Como -0,734>-0,7835, o valor mínimo de (x-1)\sin(e x) nesta meia-onda é menos negativo (maior) do que s_0. Logo (x-1)\sin(e x) em \left(\frac{\pi}{e},\frac{2\pi}{e}\right) varia entre 0 e aproximadamente -0,734, nunca alcançando s_0. Conclusão: não há solução neste primeiro intervalo negativo.

Passo 6

Analiso o intervalo negativo da direita \left(\frac{3\pi}{e},4\right).
  • No extremo esquerdo x=\frac{3\pi}{e} temos \sin(e x)=0, logo (x-1)\sin(e x)=0, que é maior que s_0 (pois s_0<0).
  • No extremo direito x=4 calculo aproximadamente
(4-1)\sin(4e)=3\sin(4e).
Para estimar \sin(4e) faço a redução de 4e em relação a 3\pi:
4e\approx 10,873,\quad 3\pi\approx 9,425,\quad 4e-3\pi\approx 1,448,
logo \sin(4e)=\sin(3\pi+1,448)=-\sin(1,448)\approx -0,9927. Assim
(4-1)\sin(4e)\approx 3\cdot(-0,9927)\approx -2,978,
que é muito menor (mais negativo) que s_0\approx -0,7835.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como (x-1)\sin(e x) é contínua, e tem valor 0>s_0 no início do intervalo e valor \approx -2,978<s_0 no fim, existe pelo menos um ponto c\in\left(\frac{3\pi}{e},4\right) tal que (c-1)\sin(e c)=s_0.
Agora verifico unicidade nessa meia-onda: calculo a derivada de h(x)=(x-1)\sin(e x),
h'(x)=\sin(e x)+e(x-1)\cos(e x).
No intervalo considerado temos e x\in(3\pi,4e) com 4e<7\pi/2 (pois 7\pi/2\approx 10,996 e 4e\approx 10,873), portanto \cos(e x) é negativo em todo o intervalo e também \sin(e x) é negativo ali. Assim ambos os termos em h'(x) são negativos, implicando h'(x)<0 em todo \left(\frac{3\pi}{e},4\right). Logo h é estritamente decrescente nesse intervalo. Como h é contínua e estritamente decrescente, e muda de valor de acima de s_0 para abaixo de s_0, existe exatamente uma única solução de h(x)=s_0 em \left(\frac{3\pi}{e},4\right).

Passo 7

Juntando as conclusões:
  • não há soluções em \left(\frac{\pi}{e},\frac{2\pi}{e}\right);
  • há exatamente uma solução em \left(\frac{3\pi}{e},4\right);
  • não há soluções nos intervalos onde \sin(e x)>0.
Portanto há exatamente um ponto c\in(1,4) que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio para f em [1,4].

Resposta

(B) One

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