Calculator active problem. Let
be the function with
, and derivative given by
. How many values of
in the open interval
satisfy the conclusion of the Mean Value Theorem for the function
on the closed interval
?
(A) None
(B) One
(C) Two
(D) More than two
(A) None
(B) One
(C) Two
(D) More than two
Passo 1
Dados do enunciado:
O que a questão pede: quantos valores de
em
satisfazem a conclusão do Teorema do Valor Médio (TVM) para
em
. Em termos práticos, queremos contar as soluções em
da igualdade
Passo 2
Calculo a razão de variação média (a inclinação da reta secante):
Note que
, logo
e a diferença
é negativa. Assim a razão média é um número negativo. Vou chamar esse valor de
:
Para ter uma ideia numérica (só para comparar depois):
Passo 3
A igualdade do TVM vira a equação para
:
Observação importante: em
tem-se
. Como
, a igualdade só pode ocorrer quando
. Ou seja, só nos intervalos onde o seno é negativo.
Passo 4
Encontro os zeros de
em
. Zeros ocorrem quando
, isto é
Procuro inteiros
tais que
. Como
os valores inteiros possíveis são
. Portanto os zeros em
são
Isso divide
em quatro meios-ondas de seno, com sinais alternados. Determino os sinais:
- em
temos ; - em
temos ; - em
temos ; - em
temos .
Como lembrado no Passo 3, só podem ocorrer soluções nos intervalos onde
, isto é em
e em
.
Passo 5
Analiso o intervalo negativo mais à esquerda
.
Dentro desta meia-onda o seno atinge o mínimo em
(pois aí
). O menor valor possível de
nessa meia-onda é, portanto,
Dentro desta meia-onda o seno atinge o mínimo
Faço a aproximação numérica para comparar com
:
Mas lembrando
. Como
, o valor mínimo de
nesta meia-onda é menos negativo (maior) do que
. Logo
em
varia entre
e aproximadamente
, nunca alcançando
. Conclusão: não há solução neste primeiro intervalo negativo.
Passo 6
Analiso o intervalo negativo da direita
.
- No extremo esquerdo
temos , logo , que é maior que (pois ). - No extremo direito
calculo aproximadamente
Para estimar
faço a redução de
em relação a
:
logo
. Assim
que é muito menor (mais negativo) que
.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua, e tem valor
no início do intervalo e valor
no fim, existe pelo menos um ponto
tal que
.
Agora verifico unicidade nessa meia-onda: calculo a derivada de
,
No intervalo considerado temos
com
(pois
e
), portanto
é negativo em todo o intervalo e também
é negativo ali. Assim ambos os termos em
são negativos, implicando
em todo
. Logo
é estritamente decrescente nesse intervalo. Como
é contínua e estritamente decrescente, e muda de valor de acima de
para abaixo de
, existe exatamente uma única solução de
em
.
Passo 7
Juntando as conclusões:
- não há soluções em
; - há exatamente uma solução em
; - não há soluções nos intervalos onde
.
Portanto há exatamente um ponto
que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio para
em
.
Resposta
(B) One