( 2,0 pts ) Encontre a equação do plano tangente ao cone
z^{2}=x^{2}+y^{2}
no ponto P=(1,-1,0).

Passo 1

O enunciado dá a equação do cone
z^{2}=x^{2}+y^{2}
e o ponto P=(1,-1,0). A pergunta é: "encontre a equação do plano tangente ao cone no ponto P". Essas são todas as informações fornecidas.

Passo 2

Antes de tentar achar o plano tangente, precisamos lembrar o critério básico para planos tangentes a superfícies dadas implicitamente. Seja
F(x,y,z)=0
uma superfície definida por uma função F diferenciável. Para que exista um plano tangente à superfície em um ponto P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0}) é necessário:
\text{(i)}\quad F(x_{0},y_{0},z_{0})=0\quad\text{(o ponto pertence à superfície);}àí
\text{(ii)}\quad \nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\neq(0,0,0)\quad\text{(gradiente não nulo).}ã
Aqui \nabla F significa o vetor gradiente, que é ortogonal à superfície no ponto e serve como vetor normal do plano tangente. O plano tangente, quando existe, pode ser escrito usando o produto escalar:
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot \bigl(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}\bigr)=0.

Passo 3

Para aplicar o critério ao nosso problema definimos
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2},
pois a superfície é dada por F(x,y,z)=0. Agora verificamos se P=(1,-1,0) pertence ao cone calculando F em P:
F(1,-1,0) = 1^{2}+(-1)^{2}-0^{2}=1+1-0=2.
Como F(1,-1,0)=2\neq 0, concluímos que o ponto P não satisfaz a equação do cone.

Passo 4

Como o ponto P não pertence à superfície, a definição padrão de plano tangente (plano que “toca” a superfície exatamente no ponto e tem direção dada pelo gradiente) não se aplica: não existe plano tangente ao cone no ponto P=(1,-1,0). Em palavras mais amigáveis: não faz sentido procurar um plano tangente a uma superfície num ponto que não está sobre essa superfície.

Passo 5

Para ser útil na prova, vou mostrar também como proceder caso o ponto fornecido devesse realmente estar no cone (por exemplo, se o enunciado tivesse P=(1,-1,\pm\sqrt{2})). Seguem os passos gerais e a conta bem mastigada:
Definimos novamente F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}. O gradiente é
\nabla F(x,y,z)=\bigl(2x,\,2y,\,-2z\bigr).
Em um ponto P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0}) da superfície (ou seja, com x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-z_{0}^{2}=0) o plano tangente satisfaz
\bigl(2x_{0},2y_{0},-2z_{0}\bigr)\cdot\bigl(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}\bigr)=0.
Dividindo por 2 e expandindo obtemos
x_{0}(x-x_{0})+y_{0}(y-y_{0})-z_{0}(z-z_{0})=0.
Rearranjando,
x_{0}x+y_{0}y-z_{0}z = x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-z_{0}^{2}.
Como o ponto está na superfície, a direita é zero, então a forma simplificada do plano tangente é
\boxed{x_{0}x + y_{0}y - z_{0}z = 0.}

Passo 6

Aplicando a fórmula acima aos pontos que realmente pertencem ao cone com as mesmas coordenadas x_{0}=1 e y_{0}=-1 (ou seja, aos pontos \bigl(1,-1,z_{0}\bigr) com z_{0}^{2}=2, logo z_{0}=\pm\sqrt{2}) obtemos as duas possíveis equações de plano tangente correspondentes:
\text{para }z_{0}=+\sqrt{2}:\quad x - y - \sqrt{2}\,z = 0,
\text{para }z_{0}=-\sqrt{2}:\quad x - y + \sqrt{2}\,z = 0.
Essas são as equações dos planos tangentes nos pontos \bigl(1,-1,\sqrt{2}\bigr) e \bigl(1,-1,-\sqrt{2}\bigr), respectivamente.

Resposta

O ponto P=(1,-1,0) não pertence ao cone z^{2}=x^{2}+y^{2}; portanto não existe plano tangente ao cone em P.

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