( 2,0 pts ) Encontre a equação do plano tangente ao cone
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a equação do cone
e o ponto
. A pergunta é: "encontre a equação do plano tangente ao cone no ponto
". Essas são todas as informações fornecidas.
Passo 2
Antes de tentar achar o plano tangente, precisamos lembrar o critério básico para planos tangentes a superfícies dadas implicitamente. Seja
uma superfície definida por uma função
diferenciável. Para que exista um plano tangente à superfície em um ponto
é necessário:
Aqui
significa o vetor gradiente, que é ortogonal à superfície no ponto e serve como vetor normal do plano tangente. O plano tangente, quando existe, pode ser escrito usando o produto escalar:
Passo 3
Para aplicar o critério ao nosso problema definimos
pois a superfície é dada por
. Agora verificamos se
pertence ao cone calculando
em
:
Como
, concluímos que o ponto
não satisfaz a equação do cone.
Passo 4
Como o ponto
não pertence à superfície, a definição padrão de plano tangente (plano que “toca” a superfície exatamente no ponto e tem direção dada pelo gradiente) não se aplica: não existe plano tangente ao cone no ponto
. Em palavras mais amigáveis: não faz sentido procurar um plano tangente a uma superfície num ponto que não está sobre essa superfície.
Passo 5
Para ser útil na prova, vou mostrar também como proceder caso o ponto fornecido devesse realmente estar no cone (por exemplo, se o enunciado tivesse
). Seguem os passos gerais e a conta bem mastigada:
Definimos novamente
. O gradiente é
Em um ponto
da superfície (ou seja, com
) o plano tangente satisfaz
Dividindo por
e expandindo obtemos
Rearranjando,
Como o ponto está na superfície, a direita é zero, então a forma simplificada do plano tangente é
Passo 6
Aplicando a fórmula acima aos pontos que realmente pertencem ao cone com as mesmas coordenadas
e
(ou seja, aos pontos
com
, logo
) obtemos as duas possíveis equações de plano tangente correspondentes:
Essas são as equações dos planos tangentes nos pontos
e
, respectivamente.
Resposta
O ponto
não pertence ao cone
; portanto não existe plano tangente ao cone em
.