A differentiable function g has the property that g^{\prime}(x)>2 for 1 \leq x \leq 5 and g(4)=3. Which of the following could be true?
I. g(1)=-6
II. g(2)=0 \times
III. g(5)=4 \times
(A) 1 only
(B) II only
(C) I and II only
(D) 1 and III only
(E) II and III only

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A função g é diferenciável.
  • Para todo x com 1 \leq x \leq 5 vale \;g'(x)>2\;.
  • g(4)=3.
O que a questão pede: determinar quais das afirmações abaixo poderiam ser verdadeiras, ou seja, são compatíveis com as informações acima:
I. g(1)=-6
II. g(2)=0
III. g(5)=4

Passo 2

Vamos usar um resultado que é perfeito aqui: o Teorema do Valor Médio (TVM). Vou explicar ele de um jeito direto e sem mistério.
Teorema do Valor Médio (TVM): se uma função g é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe algum c\in(a,b) tal que
g'\text{(c)}=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}.
O que isso significa na prática: a diferença média \dfrac{g(b)-g(a)}{b-a} é igual à derivada em algum ponto interno. Aqui sabemos algo ainda mais forte: \;g'(x)>2\; para todo x em [1,5]. Isso implica que a diferença média entre quaisquer dois pontos a<b em [1,5] também deve ser maior que 2. Em forma de desigualdade:
\frac{g(b)-g(a)}{b-a} > 2 \quad\Longrightarrow\quad g(b)-g(a) > 2(b-a).
Outra forma (equivalente) de ver: como g'(x)>2 em todo o intervalo, integrando obtemos
g(b)-g(a)=\int_a^b g'(x)\,dx > \int_a^b 2\,dx = 2(b-a).
Em suma: para qualquer a<b em [1,5] vale
g(b) > g(a) + 2(b-a).
Essa é a ferramenta que vamos aplicar entre pontos específicos.

Passo 3

Aplicando a desigualdade entre a=1 e b=4:
g(4) > g(1) + 2(4-1).
Substituindo g(4)=3:
3 > g(1) + 6 \quad\Longrightarrow\quad g(1) < -3.
Conclusão: qualquer valor de g(1) deve ser estritamente menor que -3. A afirmativa I diz g(1)=-6. Como -6 < -3, a afirmativa I é compatível com a condição g'(x)>2. Ou seja, I pode ser verdadeira.

Passo 4

Agora entre a=2 e b=4:
g(4) > g(2) + 2(4-2).
Substituindo g(4)=3:
3 > g(2) + 4 \quad\Longrightarrow\quad g(2) < -1.
Conclusão: qualquer g(2) deve ser estritamente menor que -1. A afirmativa II diz g(2)=0. Como 0 não é menor que -1, a afirmativa II não pode ser verdadeira.

Passo 5

Finalmente entre a=4 e b=5:
g(5) > g(4) + 2(5-4).
Substituindo g(4)=3:
g(5) > 3 + 2 = 5.
Conclusão: g(5) deve ser estritamente maior que 5. A afirmativa III diz g(5)=4. Como 4 não é maior que 5, a afirmativa III não pode ser verdadeira.

Passo 6

Resumindo os resultados:
  • I ( g(1)=-6) é compatível porque exige g(1)<-3 e -6 satisfaz isso.
  • II ( g(2)=0) é incompatível porque precisamos de g(2)<-1.
  • III ( g(5)=4) é incompatível porque precisamos de g(5)>5.
Portanto, apenas a afirmativa I poderia ser verdadeira.

Resposta

(A) 1 only

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