A differentiable function
has the property that
for
and
. Which of the following could be true?
I.
II.
III.
(A) 1 only
(B) II only
(C) I and II only
(D) 1 and III only
(E) II and III only
I.
II.
III.
(A) 1 only
(B) II only
(C) I and II only
(D) 1 and III only
(E) II and III only
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A função
é diferenciável. - Para todo
com vale . -
.
O que a questão pede: determinar quais das afirmações abaixo poderiam ser verdadeiras, ou seja, são compatíveis com as informações acima:
I.
II.
III.
I.
II.
III.
Passo 2
Vamos usar um resultado que é perfeito aqui: o Teorema do Valor Médio (TVM). Vou explicar ele de um jeito direto e sem mistério.
Teorema do Valor Médio (TVM): se uma função
é contínua em
e diferenciável em
, então existe algum
tal que
O que isso significa na prática: a diferença média
é igual à derivada em algum ponto interno. Aqui sabemos algo ainda mais forte:
para todo
em
. Isso implica que a diferença média entre quaisquer dois pontos
em
também deve ser maior que
. Em forma de desigualdade:
Outra forma (equivalente) de ver: como
em todo o intervalo, integrando obtemos
Em suma: para qualquer
em
vale
Essa é a ferramenta que vamos aplicar entre pontos específicos.
Passo 3
Aplicando a desigualdade entre
e
:
Substituindo
:
Conclusão: qualquer valor de
deve ser estritamente menor que
. A afirmativa I diz
. Como
, a afirmativa I é compatível com a condição
. Ou seja, I pode ser verdadeira.
Passo 4
Agora entre
e
:
Substituindo
:
Conclusão: qualquer
deve ser estritamente menor que
. A afirmativa II diz
. Como
não é menor que
, a afirmativa II não pode ser verdadeira.
Passo 5
Finalmente entre
e
:
Substituindo
:
Conclusão:
deve ser estritamente maior que
. A afirmativa III diz
. Como
não é maior que
, a afirmativa III não pode ser verdadeira.
Passo 6
Resumindo os resultados:
- I (
) é compatível porque exige e satisfaz isso. - II (
) é incompatível porque precisamos de . - III (
) é incompatível porque precisamos de .
Portanto, apenas a afirmativa I poderia ser verdadeira.
Resposta
(A) 1 only