Determine a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
Informações relevantes dadas:
- É uma equação diferencial linear de ordem 3 com coeficientes constantes.
- O termo do lado direito (forçamento) é a soma de duas funções:
e . - Queremos a solução geral
, que é a soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular.
Passo 2
Começamos encontrando a solução da equação homogênea associada:
Para isso usamos o polinômio característico. Substituímos
e obtemos o polinômio
Passo 3
Vamos fatorar o polinômio característico. Agrupando termos:
Logo as raízes são
e
, ou seja
.
Passo 4
As raízes produzem a solução complementar (solução da homogênea). Para a raiz real
temos
. Para as raízes complexas
correspondem
e
. Assim a solução complementar é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora procuramos uma solução particular
da equação completa. Como o lado direito é soma de duas funções, podemos procurar
, com
forçando a parte
e
forçando a parte
. Usaremos o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 6
Tratando primeiro a parte
. Normalmente para forçamento
tomaríamos um ansatz
, mas note que
já aparece na solução homogênea (resposta correspondente à raiz
). Há ressonância de multiplicidade
, então multiplicamos por
. Como o polinômio multiplicador é de grau zero, escolhemos
com
constante a determinar.
Passo 7
Calculamos derivadas de
. Escrevo passo a passo:
Derivando:
(Usei produto e cadeia: por exemplo,
.)
Passo 8
Substituímos em
e somamos:
Agrupando termos constantes e de
:
constantes: . coeficiente de
:
. Portanto
constantes:
Queremos
. Logo
, isto é
Portanto
Passo 9
Agora tratamos a parte polinomial
. Para um forçamento polinomial de grau
(ou seja
), tentamos um polinômio do mesmo grau:
com constantes
a determinar. Não há ressonância com a homogênea porque a raiz
não é raiz do polinômio característico, então esse ansatz é adequado.
Passo 10
Derivadas de
Aplicando o operador:
Queremos
. Igualando coeficientes do polinômio em
obtemos:
Da primeira equação
logo
.]
Passo 11
Portanto
A solução particular total é a soma das duas partes:
Passo 12
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar com a particular:
Pronto — essa é a solução geral. (Se quiser checar, pode derivar e substituir na equação original; as contas que fizemos garantem que ela satisfaz a EDO.)