Determine a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=e^{-t}+4 t

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime\prime}+y^{\prime}+y=e^{-t}+4t.
Informações relevantes dadas:
  • É uma equação diferencial linear de ordem 3 com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito (forçamento) é a soma de duas funções: e^{-t} e 4t.
  • Queremos a solução geral y(t), que é a soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular.

Passo 2

Começamos encontrando a solução da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime\prime}+y^{\prime}+y=0.
Para isso usamos o polinômio característico. Substituímos y(t)=e^{rt} e obtemos o polinômio
r^{3}+r^{2}+r+1=0.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio característico. Agrupando termos:
r^{3}+r^{2}+r+1 = r^{2}(r+1)+1(r+1) = (r^{2}+1)(r+1).
Logo as raízes são r=-1 e r^{2}+1=0, ou seja r=\pm i.

Passo 4

As raízes produzem a solução complementar (solução da homogênea). Para a raiz real r=-1 temos e^{-t}. Para as raízes complexas r=\pm i correspondem \cos t e \sin t. Assim a solução complementar é
y_{c}(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}\cos t + C_{3}\sin t,
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora procuramos uma solução particular y_{p} da equação completa. Como o lado direito é soma de duas funções, podemos procurar y_{p}=y_{p1}+y_{p2}, com y_{p1} forçando a parte e^{-t} e y_{p2} forçando a parte 4t. Usaremos o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 6

Tratando primeiro a parte e^{-t}. Normalmente para forçamento Ae^{-t} tomaríamos um ansatz K e^{-t}, mas note que e^{-t} já aparece na solução homogênea (resposta correspondente à raiz r=-1). Há ressonância de multiplicidade m=1, então multiplicamos por t^{m}=t. Como o polinômio multiplicador é de grau zero, escolhemos
y_{p1}(t)=K \, t e^{-t},
com K constante a determinar.

Passo 7

Calculamos derivadas de y_{p1}. Escrevo passo a passo:
y_{p1}=Kte^{-t}.
Derivando:
y_{p1}'=K(1-t)e^{-t},
y_{p1}''=-K(2-t)e^{-t},
y_{p1}'''=K(3-t)e^{-t}.
(Usei produto e cadeia: por exemplo, d/dt( t e^{-t})= e^{-t} - t e^{-t}=(1-t)e^{-t}.)

Passo 8

Substituímos em L[y]=y'''+y''+y'+y e somamos:
L[y_{p1}]=\big(K(3-t)-K(2-t)+K(1-t)+Kt\big)e^{-t}.
Agrupando termos constantes e de t:
constantes: 3K-2K+K=2K. coeficiente de t: -K+K-K+K=0. Portanto
L[y_{p1}]=2K e^{-t}.
Queremos L[y_{p1}]=e^{-t}. Logo 2K=1, isto é
K=\tfrac{1}{2}.
Portanto
y_{p1}(t)=\tfrac{1}{2}t e^{-t}.

Passo 9

Agora tratamos a parte polinomial 4t. Para um forçamento polinomial de grau 1 (ou seja 4t), tentamos um polinômio do mesmo grau:
y_{p2}(t)=At+B,
com constantes A,B a determinar. Não há ressonância com a homogênea porque a raiz r=0 não é raiz do polinômio característico, então esse ansatz é adequado.

Passo 10

Derivadas de y_{p2}\): \[y_{p2}'=A,\qquad y_{p2}''=0,\qquad y_{p2}'''=0.
Aplicando o operador:
L[y_{p2}]=y_{p2}'''+y_{p2}''+y_{p2}'+y_{p2}=0+0+A+(At+B)=At+(A+B).
Queremos L[y_{p2}]=4t. Igualando coeficientes do polinômio em t obtemos:
\begin{cases} A=4,\\[4pt] A+B=0. \end{cases}
Da primeira equação A=4\]. Da segunda \(4+B=0 logo B=-4.]

Passo 11

Portanto
y_{p2}(t)=4t-4.
A solução particular total é a soma das duas partes:
y_{p}(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t)=\tfrac{1}{2}t e^{-t}+4t-4.

Passo 12

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar com a particular:
y(t)=y_{c}(t)+y_{p}(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}\cos t + C_{3}\sin t + \tfrac{1}{2}t e^{-t}+4t-4.
Pronto — essa é a solução geral. (Se quiser checar, pode derivar e substituir na equação original; as contas que fizemos garantem que ela satisfaz a EDO.)

Resposta

y(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}\cos t + C_{3}\sin t + \tfrac{1}{2}t e^{-t}+4t-4

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