Calculc as integrais definidas ou indefinidas.
integral(raizx^2+x^4) d x, x>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida ou indefinida de em relação a , onde . Isso envolve métodos de cálculo de integrais, especialmente com funções que têm expressões mais complicadas dentro da raiz. Vamos precisar usar substituição (também conhecida como troca de variável) para simplificar a integral e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raizx^2 + x^4 = raizx^2(1 + x^2) = xraiz1 + x^2
Aqui, extraímos de dentro da raiz, lembrando que , então podemos tirar o sem precisar do valor absoluto.

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral xraiz1 + x^2 , dx
Isso parece mais simples, mas ainda precisamos encontrar uma maneira de resolver. A gente pode usar a substituição para facilitar.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição:
u = 1 + x^2
Então, derivando ambos os lados em relação a du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2 :
Essa substituição ajuda a transformar a integral em termos de , que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Substituindo na integral:
integral xraiz1 + x^2 , dx = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du
Agora, a integral está em uma forma básica que podemos resolver.

Passo 6

Integrando 12 integral u^1/2 , du = 12 cdot u^3/23/2 + C = 13 u^3/2 + C em relação a :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo 13 u^3/2 + C = 13 (1 + x^2)^3/2 + C :

Resposta

A integral de 13 (1 + x^2)^3/2 + C é:
onde é a constante de integração.

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