Seja o escoamento de um fluido de densidade rho=1000 kg m^-3 definido pelo campo de velocidades v=x y i+y z j+z x k ms^-1. Este escoamento é irrotacional?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um escoamento de fluido com densidade rho = 1000 kg m^-3 e um campo de velocidades definido por v = x y i + y z j + z x k ms^-1. Queremos descobrir se esse escoamento é irrotacional. Para isso, vamos precisar entender o que significa um fluxo ser irrotacional e como calcular o rotacional do campo de velocidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um fluxo irrotacional. Em fluidos, um escoamento é chamado de irrotacional se não houver rotação das partículas do fluido. Matematicamente, isso significa que o rotacional (ou “curl” em inglês) do campo de velocidades v é igual a zero. O rotacional nos mostra se há circulação local no fluxo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional do campo de velocidades dado. O rotacional de v = (vx, vy, vz) é definido por:
nabla times v = ( partial vzpartial y - partial vypartial z ) i + ( partial vxpartial z - partial vzpartial x ) j + ( partial vypartial x - partial vxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente:
  • Para i:
partial vzpartial y = partial (z x)partial y = 0 (já que não há y em z x) áãá
partial vypartial z = partial (y z)partial z = y
Então,
( partial vzpartial y - partial vypartial z ) = 0 - y = -y
  • Para j:
partial vxpartial z = partial (x y)partial z = 0 (já que não há z em x y) áãá
partial vzpartial x = partial (z x)partial x = z
Então,
( partial vxpartial z - partial vzpartial x ) = 0 - z = -z
  • Para k:
partial vypartial x = partial (y z)partial x = 0 (já que não há x em y z) áãá
partial vxpartial y = partial (x y)partial y = x
Então,
( partial vypartial x - partial vxpartial y ) = 0 - x = -x

Passo 4

Agora, juntando todas as componentes, temos:
nabla times v = -y i - z j - x k
Para o fluxo ser irrotacional, precisamos que esse rotacional seja igual a zero em todos os pontos, ou seja:
-y i - z j - x k = 0
Isso só acontece se x = y = z = 0, o que não é verdade para todos os pontos do fluxo.

Resposta

Não, o escoamento não é irrotacional porque o rotacional do campo de velocidades nabla times v = -y i - z j - x k não é igual a zero em geral.

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