Seja o escoamento de um fluido de densidade
definido pelo campo de velocidades
. Este escoamento é irrotacional?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um escoamento de fluido com densidade
e um campo de velocidades definido por
. Queremos descobrir se esse escoamento é irrotacional. Para isso, vamos precisar entender o que significa um fluxo ser irrotacional e como calcular o rotacional do campo de velocidades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um fluxo irrotacional. Em fluidos, um escoamento é chamado de irrotacional se não houver rotação das partículas do fluido. Matematicamente, isso significa que o rotacional (ou “curl” em inglês) do campo de velocidades
é igual a zero. O rotacional nos mostra se há circulação local no fluxo.
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional do campo de velocidades dado. O rotacional de
é definido por:
Vamos calcular cada componente:
- Para
:
Então,
- Para
:
Então,
- Para
:
Então,
Passo 4
Agora, juntando todas as componentes, temos:
Para o fluxo ser irrotacional, precisamos que esse rotacional seja igual a zero em todos os pontos, ou seja:
Isso só acontece se
, o que não é verdade para todos os pontos do fluxo.
Resposta
Não, o escoamento não é irrotacional porque o rotacional do campo de velocidades
não é igual a zero em geral.