Seja o escoamento de um fluido de densidade rho=1000 kg m^-3 definido pelo campo de velocidades v=x y i+y z j+z x k ms^-1. Qual a taxa de acumulação por unidade de volume no ponto (1,1,1) ?

Passo 1

Nesse exercício, temos um escoamento de fluido de densidade constante rho=1000,kg/m^3 e campo de velocidades v = x y, i + y z, j + z x, k. A pergunta pede a taxa de acumulação de massa por unidade de volume no ponto (1,1,1). Para resolver, vamos usar a equação de continuidade (conservação de massa).

Passo 2

A equação de continuidade em forma local é
partial rhopartial t + nablacdot(rho v)=0
Como rho é constante espacialmente (mas pode variar no tempo), podemos escrever a taxa de variação local de densidade como
partial rhopartial t = -nablacdot(rho v)
Como rho é constante, isso vira
partial rhopartial t = -rho,nablacdot v

Passo 3

Para encontrar nablacdot v, calculamos:
nablacdot v = partialpartial x(xy) + partialpartial y(yz) + partialpartial z(zx) = y + z + x

Passo 4

No ponto (1,1,1), temos
nablacdot v|(1,1,1) = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 5

Substituindo em partial rho/partial t = -rho,nablacdot v, obtemos:
partial rhopartial t|(1,1,1) = -1000 times 3 = -3000,kg/(m^3cdot s)

Resposta

-3000 kg/(m^3·s)

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