Determine as equações dos planos normal, retificador e osculador da curva definida por
no ponto
. Determine a equação do círculo osculador no mesmo ponto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as equações dos planos normal, retificador e osculador de uma curva definida por $ x = 2 \sin 3t $, $ y = t $, $ z = 2 \cos 3t $ no ponto $ (0, \pi, -2) $. Além disso, precisamos achar a equação do círculo osculador nesse mesmo ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como vetor tangente, normal e binormal, além de entender o que são esses planos e o círculo osculador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual valor de $ t $ corresponde ao ponto $ (0, \pi, -2) $. Olhando para as equações paramétricas:
Agora, substituímos $ t = \pi $ nas outras equações para confirmar:
Então, $ t = \pi $ realmente nos dá o ponto $ (0, \pi, -2) $.
Passo 3
Vamos encontrar o vetor tangente à curva no ponto $ t = \pi $. O vetor tangente é dado pelas derivadas das componentes em relação a $ t $:
Substituindo $ t = \pi $:
Passo 4
O vetor normal à curva pode ser obtido a partir da derivada segunda:
Substituindo $ t = \pi $:
Passo 5
Agora, vamos determinar os planos:
-
Plano Normal: É o plano que contém o vetor normal à curva. A equação geral de um plano é $ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 $, onde $ (a, b, c) $ é o vetor normal.Aqui, o vetor normal é $ \mathbf{r}’’(\pi) = (0, 0, 18) $, então a equação fica:
-
Plano Retificador: É o plano que contém o vetor tangente e o vetor normal. Podemos usar o produto vetorial dos dois vetores para achar a normal do plano.Porém, como já temos o vetor tangente $ \mathbf{T} = (-6, 1, 0) $ e o vetor normal $ \mathbf{N} = (0, 0, 18) $, o produto vetorial $ \mathbf{T} \times \mathbf{N} $ nos dá o vetor binormal $ \mathbf{B} $:Então, a normal do plano retificador é $ (18, 108, 0) $. Simplificando dividindo por 18:
r''(pi) = (0, 0, 18) A equação do plano retificador:0(x - 0) + 0(y - pi) + 18(z + 2) = 0 Rightarrow 18z + 36 = 0 Rightarrow z = -2 -
Plano Osculador: É o plano que contém os vetores tangente e binormal. A normal desse plano é o vetor normal à curva $ \mathbf{N} $.Assim, a equação do plano osculador é igual à do plano normal, que já encontramos:
T = (-6, 1, 0)
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação do círculo osculador no ponto $ (0, \pi, -2) $. O círculo osculador está no plano osculador e tem como raio o raio de curvatura $ R $.
Primeiro, calculamos o raio de curvatura $ R $:
Vamos calcular $ |\mathbf{r}’(\pi)| $ e $ |\mathbf{r}’(\pi) \times \mathbf{r}’’(\pi)| $:
Então,
Agora, o círculo osculador no plano osculador $ z = -2 $, com centro no ponto dado e raio $ \frac{37}{18} $. A equação geral de um círculo no plano $ z = -2 $ é:
Substituindo $ (x_0, y_0) = (0, \pi) $ e $ R = \frac{37}{18} $:
Resposta
As equações dos planos na curva no ponto $ (0, \pi, -2) $ são:
- Plano Normal: $ z = -2 $
- Plano Retificador: $ x + 6y = 6\pi $
- Plano Osculador: $ z = -2 $
A equação do círculo osculador nesse ponto é: