Calculc as integrais definidas ou indefinidas.
integral e^2 x(sen x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo, mais especificamente com integrais que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta poderosa para integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que vamos chamar de integral u , dv = uv - integral v , du e u = sen x Rightarrow du = cos x , dx na fórmula da integração por partes:
dv = e^2x , dx Rightarrow v = e^2x2
Vamos escolher:
Isso porque integrar em relação a .

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Então, até aqui, transformamos nossa integral original em uma nova integral que envolve integral e^2x cdot sen x , dx = sen x cdot e^2x2 - integral e^2x2 cdot cos x , dx .

Passo 4

Agora, vamos resolver a nova integral u = cos x Rightarrow du = -sen x , dx usando novamente a integração por partes. Desta vez, escolhemos:
dv = e^2x , dx Rightarrow v = e^2x2
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Vamos chamar a integral original de I = integral e^2x cdot sen x , dx :
Substituindo de volta na equação que obtivemos:
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver para I + I2 = e^2x sen x2 - e^2x cos x2 :
Multiplicando ambos os lados por 3I2 = e^2x (sen x - cos x)2 :
onde I = e^2x (sen x - cos x)3 + C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

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