Calcule
lim x 0^+(1+sen 4 x)^cotg x

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+l(1+sin4xr)^cot x
Este é um limite de tipo 1^infty, então vamos usar a técnica de logaritmo para converter em um limite do tipo tfrac00 ou tfracinftyinfty.

Passo 2

Definimos
L = limxto0^+l(1+sin4xr)^cot x
Tomando logaritmo natural,
ln L = limxto0^+cot x;lnl(1+sin4xr)
Como cot xto+infty e ln(1+sin4x)to0, é uma forma inftycdot0. Para resolver, escrevemos em forma de quociente:
ln L = limxto0^+lnl(1+sin4xr)tan x

Passo 3

Agora temos uma forma tfrac00. Podemos usar expansão em série para xapprox0:
ln(1+sin4x)approxsin4x e tan xapprox x. Então
ln L = limxto0^+sin4xx
Fatorando 4:
sin4xx = 4;sin4x4x;longrightarrow;4cdot1 = 4

Passo 4

Concluímos que
ln L = 4 Longrightarrow L = e^4

Resposta

e^4

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