Dê uma interpretação geométrica da integral tripla
integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integral0^2 raiz1-x^2-y^2 d z d y d x
Então use coordenadas cilíndricas para determinar essa integral.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral tripla
integral-1^1integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2integral0^2raiz1-x^2-y^2dz,dy,dx
e pede duas coisas:
  1. Interpretar geometricamente o domínio de integração.
  2. Calcular o valor da integral usando coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Vamos primeiro interpretar a região E descrita pelos limites. Do enunciado vemos:
  • No plano xy, (x,y) varia em x^2+y^2<=1, isto é, o disco unitário.
  • Para cada (x,y) desse disco, z vai de 0 até
2raiz1 - x^2-y^2
Isso faz com que a superfície de topo seja
z = 2raiz1 - r^2,
que ao quadrarmos dá
r^2 + z^24 = 1
Portanto E é exatamente a metade superior do elipsoide
x^2+y^2 + z^24 = 1
acima do plano z=0.

Passo 3

Para calcular o volume de E em coordenadas cilíndricas fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
com Jacobiano r. Os limites ficam
theta de 0 a 2pi,
r de 0 a 1,
z de 0 a 2raiz1 - r^2.
A integral vira
integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=0^2raiz1 - r^2r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integralz=0^2raiz1 - r^2r,dz = rl[zr]0^2raiz1 - r^2 = 2rraiz1 - r^2
Logo a integral total passa a ser
integral0^2piintegral0^12rraiz1 - r^2,dr,dtheta

Passo 5

Separamos o fator angular e fazemos a substituição u = 1 - r^2, du = -2r,dr:
integral0^2pidtheta ;times; integral0^12rraiz1 - r^2,dr = 2pi integralr=0^12rraiz1 - r^2,dr = 2pi integralu=1^0(-raizu),du = 2pi integral0^1raizu,du = 2pi[tfrac23u^3/2]0^1 = 4pi3

Resposta

4pi3

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