Dê uma interpretação geométrica da integral tripla
Então use coordenadas cilíndricas para determinar essa integral.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral tripla
e pede duas coisas:
- Interpretar geometricamente o domínio de integração.
- Calcular o valor da integral usando coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Vamos primeiro interpretar a região
descrita pelos limites. Do enunciado vemos:
- No plano
, varia em , isto é, o disco unitário. - Para cada
desse disco, vai de até
Isso faz com que a superfície de topo seja
que ao quadrarmos dá
Portanto
é exatamente a metade superior do elipsoide
acima do plano
.
Passo 3
Para calcular o volume de
em coordenadas cilíndricas fazemos
com Jacobiano
. Os limites ficam
de
a
,
de
a
,
de
a
.
A integral vira
A integral vira
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Logo a integral total passa a ser
Passo 5
Separamos o fator angular e fazemos a substituição
,
: