A(x)=x(90-2 x)
é a função que dá a área do canteiro em função de x.
d) Qual é o valor de x que otimiza a área do canteiro?

Passo 1

O enunciado dá a função da área do canteiro
A(x) = x,(90 - 2x)
em função de x, e pede o valor de x que otimiza (maximiza) essa área. O conteúdo é otimização de função quadrática, que podemos resolver encontrando o vértice da parábola ou usando derivada.

Passo 2

Vamos primeiro reescrever A(x) em forma padrão de quadrática:
A(x) = x,(90 - 2x) = -2x^2 + 90x

Passo 3

Calcule a derivada de A(x) para encontrar o ponto crítico:
A'(x) = ddxl(-2x^2 + 90xr) = -4x + 90

Passo 4

Determine x tal que A'(x)=0:
-4x + 90 = 0 Longrightarrow x = 904 = 22,5

Passo 5

Como o coeficiente de x^2 em A(x) é -2<0, a parábola abre para baixo e o ponto crítico é um máximo. Logo, o valor de x que maximiza a área é 22,5.

Resposta

O valor de x que otimiza a área do canteiro é 22,5.

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