Calcule partial^2 fpartial x^2 e partial^2 fpartial y^2 para f(x, y)=x^2 y+x y^2.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=x^2y + x y^2
ou seja, queremos partial^2fpartial x^2 e partial^2fpartial y^2. Para isso, primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem em x e em y, e depois derivamos cada uma dessas em relação à mesma variável novamente.

Passo 2

Calculando a derivada parcial de primeira ordem em x, tratamos y como constante:
partial fpartial x =partialpartial xl(x^2yr)+partialpartial xl(x y^2r) =2xy + y^2
Agora derivamos mais uma vez em x para obter
partial^2fpartial x^2 =partialpartial xl(2xy + y^2r) =2y + 0 =2y

Passo 3

Calculando a derivada parcial de primeira ordem em y, tratamos x como constante:
partial fpartial y =partialpartial yl(x^2yr)+partialpartial yl(x y^2r) =x^2 + 2xy
Em seguida derivamos mais uma vez em y para obter
partial^2fpartial y^2 =partialpartial yl(x^2 + 2xyr) =0 + 2x =2x

Resposta

partial^2fpartial x^2=2y
partial^2fpartial y^2=2x

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