Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Estamos lidando com limites envolvendo funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de L’Hospital, que é útil quando temos formas indeterminadas como 0/0 ou ∞/∞.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite:
A gente se depara com uma forma indeterminada
, então a Regra de L’Hospital é uma boa opção aqui.
Passo 3
A Regra de L’Hospital diz que se temos um limite da forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador:
-
Derivada do numerador
: -
Derivada do denominador
:
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital:
Passo 4
Vamos tentar substituir
novamente na nova expressão:
De novo, temos uma forma indeterminada
. Então, precisamos aplicar a Regra de L’Hospital mais uma vez.
Passo 5
Derivamos novamente o numerador e o denominador:
-
Derivada do numerador
: -
Derivada do denominador
:
Agora, o limite fica:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão:
Resposta
O limite é igual a
.