Calcule:
lim x 1 1-x+ln x1+cos (pi x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
lim x 1 1 - x + ln x1 + cos(pi x)
Estamos lidando com limites envolvendo funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de L’Hospital, que é útil quando temos formas indeterminadas como 0/0 ou ∞/∞.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 1 diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite:
1 - 1 + ln 11 + cos(pi cdot 1) = 0 + 01 + (-1) = 00
A gente se depara com uma forma indeterminada 00 , então a Regra de L’Hospital é uma boa opção aqui.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se temos um limite da forma 00 ou inftyinfty , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador 1 - x + ln x :
    ddx(1) - ddx(x) + ddx(ln x) = 0 - 1 + 1x = -1 + 1x
  • Derivada do denominador 1 + cos(pi x) :
    ddx(1) + ddx(cos(pi x)) = 0 - pi sin(pi x) = -pi sin(pi x)
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital:
lim x 1 -1 + 1x-pi sin(pi x)

Passo 4

Vamos tentar substituir x = 1 novamente na nova expressão:
-1 + 11-pi sin(pi cdot 1) = -1 + 1-pi cdot 0 = 00
De novo, temos uma forma indeterminada 00 . Então, precisamos aplicar a Regra de L’Hospital mais uma vez.

Passo 5

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador -1 + 1x :
    ddx(-1) + ddx(1x) = 0 - 1x^2 = -1x^2
  • Derivada do denominador -pi sin(pi x) :
    -pi ddx(sin(pi x)) = -pi cdot pi cos(pi x) = -pi^2 cos(pi x)
Agora, o limite fica:
lim x 1 -1x^2-pi^2 cos(pi x) = lim x 1 1x^2pi^2 cos(pi x)

Passo 6

Agora, substituímos x = 1 na expressão:
11^2pi^2 cos(pi cdot 1) = 1pi^2 cdot (-1) = -1pi^2

Resposta

O limite é igual a -dfrac1pi^2 .

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