Mostre que a integral de linha independe do caminho e calcule o seu valor
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
e mostrar que ela independe do caminho. Reconhecemos que isso acontece se o campo vetorial
for conservativo em (que é simplesmente conexo). Então vamos verificar as condições de conservatividade e encontrar um potencial
tal que
.
for conservativo em
Passo 2
Verificamos as derivadas parciais cruzadas de
:
Como todas as igualdades são satisfeitas, é conservativo.
Como todas as igualdades são satisfeitas,
Passo 3
Para achar o potencial
, integramos
em relação a
:
Agora exigimos
o que dá
,
logo
.
Finalmente,
logo
Finalmente,
implica
. Assim, até constante,
Passo 4
Como a integral independe do caminho, basta avaliar