Mostre que a integral de linha independe do caminho e calcule o seu valor integral(1,0,0)^(1,1,1) 2 x y d x+(x^2-z^2) d y-2 y z d z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integral(1,0,0)^(1,1,1) 2xy,dx + l(x^2 - z^2r),dy - 2yz,dz
e mostrar que ela independe do caminho. Reconhecemos que isso acontece se o campo vetorial
F(x,y,z) = l(P,Q,Rr) = l(2xy,;x^2 - z^2,;-2yzr)
for conservativo em R^3 (que é simplesmente conexo). Então vamos verificar as condições de conservatividade e encontrar um potencial phi tal que nablaphi=F.

Passo 2

Verificamos as derivadas parciais cruzadas de F:
partial Ppartial y = partialpartial y(2xy)=2x,
partial Qpartial x = partialpartial x(x^2 - z^2)=2x,
partial Ppartial z = 0, partial Rpartial x = partialpartial x(-2yz)=0,
partial Qpartial z = partialpartial z(x^2 - z^2)=-2z, partial Rpartial y = partialpartial y(-2yz)=-2z
Como todas as igualdades são satisfeitas, F é conservativo.

Passo 3

Para achar o potencial phi(x,y,z), integramos
partial phipartial x = 2xy
em relação a x:
phi(x,y,z) = integral 2xy,dx = x^2y + h(y,z)
Agora exigimos
partial phipartial y = x^2 + partial hpartial y ;=; x^2 - z^2
o que dá
partial hpartial y = -,z^2,
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h(y,z) = -,y,z^2 + g(z).
Finalmente,
partial phipartial z = -2yz + g'(z) ;=; -2yz
implica g'(z)=0. Assim, até constante,
phi(x,y,z) = x^2y ;-; y,z^2

Passo 4

Como a integral independe do caminho, basta avaliar
phi(1,1,1) - phi(1,0,0) = l(1^2cdot1 - 1cdot1^2r) - l(1^2cdot0 - 0cdot0^2r) = (1 - 1) - 0 = 0

Resposta

0

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