Calcule:
integral sen(raizx) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral sen(raizx),dx
O conteúdo principal aqui é substituição para simplificar a raiz e depois usar integração por partes.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
t = raizx
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x = t^2, dx = 2t,dt
Substituindo na integral, temos
integral sin(raizx),dx = integral sin(t),(2t,dt) = 2integral tsin(t),dt

Passo 3

Agora aplicamos integração por partes em integral tsin(t),dt. Tomamos
u = t, dv = sin(t),dt
então
du = dt, v = -cos(t)
Pelo fórmula integral u,dv = uv - integral v,du, obtemos
integral tsin(t),dt = -tcos(t) - integral(-cos(t)),dt = -tcos(t) + integral cos(t),dt = -tcos(t) + sin(t)

Passo 4

Voltando à integral original e multiplicando por 2, fica
2integral tsin(t),dt = 2l(-tcos(t) + sin(t)r) = -2tcos(t) + 2sin(t)
Substituindo t = raizx de volta, chegamos à solução geral.

Resposta

-2raizx,cosl(raizxr) + 2sinl(raizxr) + C

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