Determine o domínio, conjunto imagem e esboce o gráfico da função:
f(x)=|x^2-x-2|

Passo 1

O enunciado pede o domínio, o conjunto-imagem e o esboço do gráfico de
f(x)=l|x^2-x-2r|,
O conteúdo envolve valores absolutos de um polinômio, então vamos:
  1. verificar onde o polinômio interno muda de sinal (raízes),
  2. escrever a função de forma piecewise,
  3. determinar domínio e imagem,
  4. esboçar os ramos parabólicos resultantes.

Passo 2

Como x^2-x-2 é um polinômio definido para todo xinR, temos
Domínio(f)=R, í

Passo 3

Vamos achar as raízes de x^2-x-2=0. Pela fórmula de Bhaskara:
x=1pmraiz1+82=1pm32,,
logo as raízes são
,x=-1 e x=2.

Passo 4

O valor absoluto inverte o sinal onde x^2-x-2<0, isto é, em -1<x<2. Assim:
f(x)= x^2-x-2, & x<= -1 ou x>=2, -(x^2-x-2)=-x^2+x+2, & -1<= x<=2

Passo 5

Para obter a imagem, note que f(x)>=0 sempre e atinge zero em x=-1 e x=2. No trecho interno -1<= x<=2, a parábola invertida -x^2+x+2 tem vértice em
xv=-b2a=-12cdot(-1)=tfrac12,
com valor
fl(tfrac12r) = -l(tfrac12r)^2 + tfrac12 +2 = -tfrac14 + tfrac12 +2 = tfrac94
Fora desse intervalo, f(x)=x^2-x-2 cresce sem limite à medida que lvert xrverttoinfty. Logo
Ima>=m(f)=[0,infty),

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Marque as raízes (-1,0) e (2,0).
  • Para x<= -1 e x>=2, trace o ramo da parábola y=x^2-x-2 voltado para cima.
  • Para -1<= x<=2, trace o ramo da parábola invertida y=-x^2+x+2, cujo vértice é l(tfrac12,tfrac94r).
Dessa forma obtemos o “V” suavizado da parábola original refletido onde o polinômio interno era negativo.

Resposta

Domínio: R
Conjunto-imagem: [0,infty)
Gráfico: dois ramos de parábola unidos em (-1,0) e (2,0), sendo o ramo interno invertido até o vértice l(tfrac12,tfrac94r).

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