Calcule
integral0^pi2(sen^5(x) cos ^7(x)) d x

Passo 1

O enunciado pede
integral0^pi2l(sen^5xcos^7xr),dx
O conteúdo aqui é integrar potências ímpares de seno e cosseno. Vamos usar a substituição u=sen x, que transforma o cosseno em diferencial, e depois reduzir a um integral de polinômio (ou usar a função Beta).

Passo 2

Fazendo u=sen x temos du=cos x,dx. Então
cos^7x,dx = cos^6x;cos x,dx = l(1-sen^2xr)^3du = (1-u^2)^3du
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integral0^pi2sen^5xcos^7x,dx = integralu=0^1u^5(1-u^2)^3,du

Passo 3

Para simplificar o integral de u^5(1-u^2)^3, use t=u^2, de modo que dt=2u,du ou u,du=tfracdt2. Note que u^5du = u^4,u,du = t^2,tfracdt2. Assim
integral0^1u^5(1-u^2)^3,du = 12integral0^1t^2(1-t)^3,dt

Passo 4

O integral de polinômio é
integral0^1t^2(1-t)^3,dt = B(3,4) = Gamma(3),Gamma(4)Gamma(7) = 2!,3!6! = 160
Portanto
integral0^pi2sen^5xcos^7x,dx = 12cdot160 = 1120

Resposta

1120

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