Resolva a integral
integral x+4x^3+3 x^2-10 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral x+4x^3+3x^2-10x,dx
O conteúdo aqui é integração de função racional pelo método de frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador, decompor em frações simples e então integrar cada termo.

Passo 2

Fatoramos o denominador x^3+3x^2-10x tirando x em evidência e depois fatorando a quadrática resultante:
x^3+3x^2-10x = x,(x^2+3x-10) = x,(x+5),(x-2)

Passo 3

Decompondo em frações parciais, escrevemos
x+4x,(x+5),(x-2) = Ax + Bx+5 + Cx-2
Multiplicando ambos os lados por x,(x+5),(x-2) obtemos a identidade
x+4 = A,(x+5)(x-2) + B,x,(x-2) + C,x,(x+5)

Passo 4

Expandindo o lado direito em potências de
Comparando coeficientes com , temos o sistema
Da terceira equação (A = -\tfrac{2}{5}]. Substituindo nas primeiras, achamos

Dessas equações resulta

Passo 5

Reescrevendo a integral com os coeficientes encontrados:
integral x+4x(x+5)(x-2),dx = integrall(-tfrac25,1x - tfrac135,1x+5 + tfrac37,1x-2r),dx

Passo 6

Integramos termo a termo usando integral 1u,du = ln|u|:
-tfrac25ln|x| ;-;tfrac135ln|x+5| ;+;tfrac37ln|x-2| ;+;C

Resposta

boxed -tfrac25,ln|x| ;-;tfrac135,ln|x+5| ;+;tfrac37,ln|x-2| ;+;C

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