Usando integração por partes, calcule:
integral0^12 x^2 cos (pi x) d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão quer. Precisamos calcular a integral definida de x^2 cos(pi x) de 0 até 12. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Nessa integral, temos x^2 cos(pi x) . Vamos escolher quais partes serão u e dv . Uma boa escolha é:
  • u = x^2 (porque derivar x^2 simplifica)
  • dv = cos(pi x) dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v .
  • Derivando u :
du = ddx(x^2) dx = 2x , dx
  • Integrando dv para encontrar v :
v = integral cos(pi x) dx = sin(pi x)pi + C
Como estamos fazendo uma integral definida, podemos ignorar a constante C .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral0^12 x^2 cos(pi x) dx = x^2 cdot sin(pi x)pi |0^12 - integral0^12 sin(pi x)pi cdot 2x , dx
Simplificando:
= x^2 sin(pi x)pi |0^12 - 2pi integral0^12 x sin(pi x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral:
integral0^12 x sin(pi x) , dx
Vamos aplicar integração por partes novamente para essa integral. Desta vez, vamos escolher:
  • u = x
  • dv = sin(pi x) dx

Passo 6

Encontrando du e v :
  • Derivando u :
du = dx
  • Integrando dv :
v = integral sin(pi x) dx = -cos(pi x)pi + C

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral x sin(pi x) dx = -x cdot cos(pi x)pi |0^12 + 1pi integral cos(pi x) dx
Integrando cos(pi x) :
= -x cos(pi x)pi + sin(pi x)pi^2 g|0^12

Passo 8

Voltando para a expressão anterior:
2pi [ -x cos(pi x)pi + sin(pi x)pi^2 ]0^12
Vamos calcular os limites de integração.

Passo 9

Calculando para x = 12 :
-12 cos(pi2)pi + sin(pi2)pi^2 = -12 cdot 0pi + 1pi^2 = 1pi^2
E para x = 0 :
-0 cdot cos(0)pi + sin(0)pi^2 = 0 + 0 = 0
Então, a diferença é 1pi^2 - 0 = 1pi^2 .

Passo 10

Agora, substituindo de volta na expressão original:
x^2 sin(pi x)pi |0^12 - 2pi cdot 1pi^2 = (12)^2 sin(pi2)pi - 0 - 2pi^3
Simplificando:
= 14 cdot 1pi - 2pi^3 = 14pi - 2pi^3

Resposta

A integral definida é:
integral0^12 x^2 cos(pi x) dx = 14pi - 2pi^3

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