Encontre o raio de convergência e escreva os intervalos de convergência e divergência de
sumn=0^infty x^nraizn^2+3
Quando x=-1 ou x=1 o que podemos concluir?

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências
sumn=0^inftyx^nraizn^2+3
além de determinar para quais valores de x ela converge, diverge, e o que acontece em x=1 e x=-1.
Conteúdo: séries de potências, teste da razão para o raio de convergência, análise em pontos de fronteira usando p-série e teste de Leibniz para séries alternantes.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão para
an=x^nraizn^2+3
Calculamos
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x^n+1raiz(n+1)^2+3cdotraizn^2+3x^n| =limntoinfty|x|cdotraizn^2+3raiz(n+1)^2+3 =|x|cdot1 =|x|
Pelo teste da razão, a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Portanto o raio de convergência é
R=1

Passo 3

Dessa forma os intervalos são:
- Convergência absoluta para |x|<1.
- Divergência para |x|>1.

Passo 4

Analisando o ponto x=1, a série fica
sumn=0^infty1raizn^2+3 simsumn=1^infty1n,
que é uma p-série com p=1. Como p<=1, a série diverge em x=1.

Passo 5

Analisando o ponto x=-1, a série torna-se
sumn=0^infty(-1)^nraizn^2+3
Os termos l|1/raizn^2+3r| são decaentes e tendem a zero. Pelo teste de Leibniz (série alternante com termos decrescentes a zero), ela converge (mas não absolutamente).

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Converge absolutamente em -1<x<1 e diverge para |x|>1.
Em x=1 diverge.
Em x=-1 converge condicionalmente.

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