Encontre o raio de convergência e escreva os intervalos de convergência e divergência de
Quando ou o que podemos concluir?
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência da série de potências
além de determinar para quais valores de ela converge, diverge, e o que acontece em e .
Conteúdo: séries de potências, teste da razão para o raio de convergência, análise em pontos de fronteira usando p-série e teste de Leibniz para séries alternantes.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão para
Calculamos
Pelo teste da razão, a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Portanto o raio de convergência é
R=1
Passo 3
Dessa forma os intervalos são:
- Convergência absoluta para |x|<1.
- Divergência para |x|>1.
Passo 4
Analisando o ponto x=1, a série fica
sumn=0^infty1raizn^2+3 simsumn=1^infty1n,
que é uma p-série com p=1. Como p<=1, a série diverge em x=1.
Passo 5
Analisando o ponto x=-1, a série torna-se
sumn=0^infty(-1)^nraizn^2+3
Os termos l|1/raizn^2+3r| são decaentes e tendem a zero. Pelo teste de Leibniz (série alternante com termos decrescentes a zero), ela converge (mas não absolutamente).
Resposta
Raio de convergência: R=1.
Converge absolutamente em -1<x<1 e diverge para |x|>1.
Em x=1 diverge.
Em x=-1 converge condicionalmente.