Calcule.
Passo 1
O enunciado pede a primitiva da função
ou seja, calcular
O conteúdo envolve antiderivadas de funções cujas bases dependem de
. Para investigar se existe uma primitiva em termos de funções elementares, vamos reescrever
como exponencial e tentar aplicar técnicas usuais de integração.
Passo 2
Reescrevendo a potência com base variável em termos de exponencial, temos
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Passo 3
Se tentássemos a substituição interna
teríamos
que não é um múltiplo simples de
. Assim, não conseguimos reduzir
a um caso elementar do tipo
.
Passo 4
Pelo Teorema de Liouville sobre funções elementares, sabe-se que não existe combinação de polinômios, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas que produza uma antiderivada de
. Ou seja,
não possui primitiva expressável por funções elementares.
Passo 5
Em vez de uma forma elementar, pode-se deixar a primitiva como função especial ou representá-la por série. Por exemplo, expandindo
e integrando termo a termo obtemos uma série infinita que define a primitiva, mas sem fechar em funções elementares conhecidas.
Resposta
A antiderivada de
não pode ser expressa em termos de funções elementares.