Calcule.
integral(x-14)^x d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
f(x) = l(x-tfrac14r)^x,
ou seja, calcular
integral l(x-tfrac14r)^x ,dx
O conteúdo envolve antiderivadas de funções cujas bases dependem de x. Para investigar se existe uma primitiva em termos de funções elementares, vamos reescrever f(x) como exponencial e tentar aplicar técnicas usuais de integração.

Passo 2

Reescrevendo a potência com base variável em termos de exponencial, temos
l(x-tfrac14r)^x = expl(xln(x-tfrac14)r)
Logo
integral l(x-tfrac14r)^x,dx = integral e^,xln(x-tfrac14),dx

Passo 3

Se tentássemos a substituição interna
g(x)=xln(x-tfrac14),
teríamos
g'(x) =ln(x-tfrac14)+x,x-tfrac14,,
que não é um múltiplo simples de e^g(x). Assim, não conseguimos reduzir integral e^g(x)dx a um caso elementar do tipo integral e^g(x)g'(x),dx.

Passo 4

Pelo Teorema de Liouville sobre funções elementares, sabe-se que não existe combinação de polinômios, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas que produza uma antiderivada de
expl(xln(x-tfrac14)r). Ou seja,
integral l(x-tfrac14r)^x,dx
não possui primitiva expressável por funções elementares.

Passo 5

Em vez de uma forma elementar, pode-se deixar a primitiva como função especial ou representá-la por série. Por exemplo, expandindo
e^xln(x-tfrac14) =sumk=0^infty[xln(x-tfrac14)]^kk!
e integrando termo a termo obtemos uma série infinita que define a primitiva, mas sem fechar em funções elementares conhecidas.

Resposta

A antiderivada de l(x-tfrac14r)^x não pode ser expressa em termos de funções elementares.

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