Calcule integral1^infty 1x raizx^2-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral1^infty1xraizx^2-1,dx
O conteúdo envolvido é integral imprópria e substituição trigonométrica para lidar com raizx^2-1.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica
x = sectheta, thetainl[0,tfracpi2r),
pois sec^2theta-1=tan^2theta. Então
dx = secthetatantheta,dtheta, raizx^2-1 = raizsec^2theta-1 = tantheta

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral1xraizx^2-1,dx = integral secthetatantheta,dthetasectheta;tantheta = integral dtheta = theta + C

Passo 4

Precisamos dos limites em termos de theta:
  • Quando x=1, sectheta=1 implica theta=0.
  • Quando xtoinfty, secthetatoinfty implica thetatotfracpi2.
    Logo a integral definida vale
integral1^infty1xraizx^2-1,dx = l[thetar]0^pi2 = pi2-0 = pi2

Resposta

pi2

Exercícios relacionados